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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mo 15.11.2010 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |a_n| \le \varepsilon^2
[/mm]
Entscheide durch einen Beweis oder ein Gegenbeispiel ob [mm] (a_n)_n [/mm] eine Nullfolge ist. |
Hallo! Darf ich 0 < [mm] \varepsilon \le [/mm] 1 wählen, so dass gilt:
[mm] |a_n| \le \varepsilon^2 [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Oder ist das verboten, weil die Aussage für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gelten muss!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Mo 15.11.2010 | | Autor: | jolek |
So weit ich weiß kann man das epsilon so klein wählen wie man möchte und solange alle Folgenglieder ab N in dieser Epsilon Umgebung liegen ist die Aussage wahr.Jedoch bin ich mir nicht ganz sicher was die Wahl des Epsilons betrifft! Ich glaube mich dran erinnern zu können, dass man das epsilon zwar wählt aber dies dann fest ist. Also müssten nach der Wahl des Epsilons immer noch alle Folgenglieder in der Epsilonumgebung liegen. Daher denke ich das du das Epsilon so wählen kannst!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mo 15.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> So weit ich weiß kann man das epsilon so klein wählen wie
> man möchte und solange alle Folgenglieder ab N in dieser
> Epsilon Umgebung liegen ist die Aussage wahr.Jedoch bin ich
> mir nicht ganz sicher was die Wahl des Epsilons betrifft!
> Ich glaube mich dran erinnern zu können, dass man das
> epsilon zwar wählt aber dies dann fest ist. Also müssten
> nach der Wahl des Epsilons immer noch alle Folgenglieder in
> der Epsilonumgebung liegen. Daher denke ich das du das
> Epsilon so wählen kannst!
Das ist soweit fast richtig, wichtig ist aber, dass ab einen bestimmten Fogenglied alle weiteren Gleider in der [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] liegen müssen. Es dürfen also auch noch die "endlich vielen" vorigen Folgenglieder noch ausserhalb liegen.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mo 15.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das darfst du so machen.
Wichtig ist, dass es für jedes [mm] \epsilon [/mm] einen Folgenindex [mm] n_{\epsilon} [/mm] gibt, so dass für [mm] n>n_{\epsilon} [/mm] alle folgenglieder in der Ungebung liegen dürfen.
Beispiel:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{n}
[/mm]
Dann ist für [mm] \epsilon=\bruch{1}{256} [/mm] eben [mm] n{\epsilon}=255
[/mm]
Für [mm] \epsilon=\bruch{1}{10001} n_{\epsilon}=1000
[/mm]
Marius
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> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N : [mm]|a_n| \le \varepsilon^2[/mm]
>
> Entscheide durch einen Beweis oder ein Gegenbeispiel ob
> [mm](a_n)_n[/mm] eine Nullfolge ist.
Hallo,
wenn Du zeigen willst, daß [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist, mußt Du ja zeigen:
Für alle [mm] \varepsilon'>0 [/mm] gibt es ein [mm] N'\in \IN [/mm] so, daß für alle [mm] n\ge [/mm] N' gilt: [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon'.
[/mm]
Du kannst nun so starten:
Sei [mm] \varepsilon'>0.
[/mm]
Es ist [mm] \varepsilon:=\wurzel{\varepsilon'}>0.
[/mm]
Nach Voraussetzung gibt es hierzu ein ... usw.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Sa 20.11.2010 | | Autor: | cauchy |
Ich wollte mich noch einmal für die tatkräftige Unterstützung bedanken! Ich glaube, jetzt hab ich's hinbekommen^^
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