Epimorphismus, Defekt, Rang < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 03.12.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | U [mm] \le [/mm] V, (U ist Teilraum von V), [mm] \pi: [/mm] V -> V/U mit [mm] \pi(x) [/mm] = x + U
a) Zeige: [mm] \pi [/mm] ist ein Epimorphismus auf V/U mit [mm] ker(\pi) [/mm] = U
b) [mm] def(\pi) [/mm] = dim(U), [mm] rg(\pi) [/mm] = dim(V) - dim(U). |
Hallo!
Ich habe hier Probleme mit dem Verständnis der Faktormenge V/U. Wie sieht die aus?
Könntet ihr mir bitte einen Starthinweis für diese 3 Beweise geben?
Stehe hier leider auch etwas daneben und versuche mich schon einige Stunden daran.
lg
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> U [mm]\le[/mm] V, (U ist Teilraum von V), [mm]\pi:[/mm] V -> V/U mit [mm]\pi(x)[/mm] =
> x + U
> a) Zeige: [mm]\pi[/mm] ist ein Epimorphismus auf V/U mit [mm]ker(\pi)[/mm] =
> U
> b) [mm]def(\pi)[/mm] = dim(U), [mm]rg(\pi)[/mm] = dim(V) - dim(U).
> Hallo!
>
> Ich habe hier Probleme mit dem Verständnis der Faktormenge
> V/U. Wie sieht die aus?
Hallo,
die Faktormenge enthält sämtliche Elemente der Gestalt [mm] v+U:={v+u|u\in U\}, [/mm] wobei [mm] v\in [/mm] V.
Somit ist die Faktormenge eine Menge von Mengen.
Auf der Faktormenge definiert man in naheliegender Weise eien Addition und Multiplikation mit Körperelementen (nachschlagn), damit wird die Menge zu einem Vektorraum.
> Könntet ihr mir bitte einen Starthinweis für diese 3
> Beweise geben?
Zu allererst mußt Du Dich noch ein bißchen vertraut machen mit dem Faktorraum (auch: Quotientenraum.)
Für Aufgabe a) wäre zunächstmal wichtig zu wissen, was die Null in V / U ist, vorher kann man ja keinen Kern berechnen.
Was ist die Null?
Wenn Du sie hast. wo ist das Problem bei der Berechnung des Kerns?
> Stehe hier leider auch etwas daneben und versuche mich
> schon einige Stunden daran.
zu b)
Der Defekt ist doch die Dimension des Kerns.
Überlege Dir hierfür eine Basis des Kerns.
der Rest ergibt sich nach dem Kern-Bild-Satz.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 03.12.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
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Satz über den Quotientenraum: ist U ein Unterraum von V, so kann man Addition und skalares Vielfaches von Nebenklassen definieren durch
(1) (a + U) + (b + U) := (a + b) + U
(2) x(a + U) := xa + U für alle x [mm] \in [/mm] K
Diese beiden Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Vertreter a und b.
Die Menge V/U := [mm] \{a + U : a \in V\} \subset [/mm] V.
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Soweit so gut.
Bezüglich der Null:
Ich konnte leider nirgendwo etwas handfestes finden - ich denke das Element in V/U ist U.
wenn ich also einen Nullvektor aus V wähle gilt doch [mm] \pi(0) [/mm] = 0 + U = U.
Hmm wo liegt das Problem bei der Berechnung....
Weiß ich nicht, tut mir leid. auch nach 1h stöbern in der bibliothek konnte ich nichts finden.
Bitte um weitere Tipps
lg
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