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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:21 Sa 12.09.2009 | | Autor: | locke91 |
| Aufgabe | Die Entwicklung einer weiblichen Käferpopulation kann modellhaft wie folgt beschrieben werden: Ein Weibchen legt 20 Eier und stirbt kurz darauf. Nach einem Monat entwickeln aus den Eiern Larven, von denen aber nur 30% überleben. Nach einem weiteren Monat verpuppen sich die Larven und werden zu weiblichen Käfern, die wieder 20 Eier legen; aber nur 40% der Larven überleben.
a. Beschreibe die Entwicklung der Käferpopulation als Diagramm und als Tabelle: bestimme die Übergangsmatrix.
b. Zu Beginn besteht eine Population aus 100 Eiern, 40 Larven und 15 Käfern. Ermittle die Verteilung nach einem Monat. |
So, dass ist die Aufgabe und das Problem entsteht für mich dabei, die Tabelle aufzustellen und daraus die Übergangsmatrix abzulesen. Muss ich bei der Tabelle nun oben "von" schreiben und links an der Seite "nach" oder umgekehrt?? je nach dem komm ich ja dann entweder auf die Übergangsmatrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 20 \\ 0,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0,4 & 0 } [/mm] bei "von" oben und "nach" links oder auf [mm] \pmat{ 0 & 0,3 & 0 \\ 0 & 0 & 0,4 \\ 20 & 0 & 0 } [/mm] bei "von" links und "nach" oben. Das ergibt ja dann aber unterschiedliche Ergebnisse bei Aufgabe b, wenn ich diese Übergangsmatrix dann mit [mm] \pmat{ 100 \\ 40 \\ 15 } [/mm] multipliziere, oder??
ich bin echt ratlos, woher ich nun weiß wie rum ich die tabelle und damit die Matrix anlegen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße, locke91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Sa 12.09.2009 | | Autor: | pelzig |
Deine Matrizen sind vom Prinzip her genau richtig, nur leider bist du dir nicht sicher "wie rum" sie sein muss.
Warum rechnest du nicht einfach mal per Hand aus, was in dem Beispiel rauskommen müsste und probierst dann aus, welche Matrix das gewünschte liefert?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 12.09.2009 | | Autor: | locke91 |
ok, hab ich gemacht, demnach müsste die Matrize mit links "nach" und oben "von" richtig sein, also die, wo in der ersten zeile 0 0 20 steht. kann mir auch noch einer erklären warum das so ist? ich schreib nämlich am dienstag ne klausur, aber ich weiß einfach nicht wie ich die tabelle dann anlegen muss um auf die richtige matrize zu kommen. ist es immer so, dass links "nach" und oben "von" stehen muss??
PS: an robert auf jeden fall schonmal vielen dank, jetzt weiß ich wenigstens schon was in diesem fall richtig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 12.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> ok, hab ich gemacht, demnach müsste die Matrize mit links
> "nach" und oben "von" richtig sein, also die, wo in der
> ersten zeile 0 0 20 steht.
Richtig.
> kann mir auch noch einer erklären warum das so ist?
Mach dir einfach mal klar, wie eine Matrix mit einem Vektor multipliziert wird: [mm] $$Ax=\vektor{a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3}$$ [/mm] Wenn zum Beispiel [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] die Anzahl der Eier, Larven und weiblichen Käfer bedeutet, dann muss für die Übergangsmatrix A gelten [mm] $$(Ax)_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\stackrel{!}{=}0\cdot x_1 [/mm] + [mm] 0\cdot x_2 [/mm] + [mm] 20\cdot x_3$$ [/mm] (weil es immer genau 20 mal so viele Eier wie weibliche Käfer im Vormonat gibt) also muss [mm] a_{11}=a_{12}=0 [/mm] und [mm] a_{13}=20 [/mm] sein.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 12.09.2009 | | Autor: | locke91 |
ok, ich glaub so langsam verstehe ichs. wenn ich also einen einfachen entwicklungsprozess aufstelle wie den im beispiel stell ich die tabelle mit oben "von" und links an der seite "nach" auf.
wenn ich jetzt aber einen zweistufigen produktionsprozess betrachte (wir hatten da mal einen wo man von 4 rohstoffen zu zwei zwischenprodukten und von denen zu 3 endprodukten kommt), dann stelle ich also auch 2 tabellen auf die oben "von" und links "nach" stehen haben. um dann eine matrix für den gesamtprozess zu bekommen muss ich dann also zuerst die vom zwischenprodukt zum endprodukt (B) nehmen und sie mit der vom rohstoff zum zwischenprodukt (A) multiplizieren, also eigentlich rückwärts rechnen, oder?? raus bekomme ich dann in diesem fall eine matrix mit 3 zeilen und 4 spalten (C). im b-teil der aufgabe hatten wir dann die einheiten des endprodukts gegeben und sollten den rohstoffbedarf ausrechnen. da nun aber die matrix der endprodukte nur eine spalte mit 4 zeilen hat, kann ich sie auf diese weise nicht mit C multiplizieren, was bedeutet, dass ich C transponieren muss, oder??
Wenn also C zum weiterrechnen nicht passend ist muss ich sie immer einfach transponieren, stimmt das so?
tut mir leid, dass ich das hier so recht umständlich umschreibe, ich hoffe das ist zu verstehen wie ich das mein. also dieses thema matrizen verwirrt mich einfach...
in hoffnung auf erneute antwort,
locke 91
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 12.09.2009 | | Autor: | pelzig |
Also ich muss mal dazu sagen, dass ich als "reiner Mathematiker" von all dem Kram keinen blassen Schimmer habe und es mir jetzt nur so zusammengereimt habe:
> ok, ich glaub so langsam verstehe ichs. wenn ich also einen
> einfachen entwicklungsprozess aufstelle wie den im beispiel
> stell ich die tabelle mit oben "von" und links an der seite
> "nach" auf.
Ich weiß zwar nicht was du damit meinst, aber solange es dir hilft, ok.
> wenn ich jetzt aber einen zweistufigen produktionsprozess
> betrachte (wir hatten da mal einen wo man von 4 rohstoffen
> zu zwei zwischenprodukten und von denen zu 3 endprodukten
> kommt), dann stelle ich also auch 2 tabellen auf die oben
> "von" und links "nach" stehen haben. um dann eine matrix
> für den gesamtprozess zu bekommen muss ich dann also
> zuerst die vom zwischenprodukt zum endprodukt (B) nehmen
> und sie mit der vom rohstoff zum zwischenprodukt (A)
> multiplizieren, also eigentlich rückwärts rechnen, oder??
> raus bekomme ich dann in diesem fall eine matrix mit 3
> zeilen und 4 spalten (C).
Also so wie ich dich verstehe ist A eine 4x2-Matrix und B eine 2x3-Matrix. Es gibt also überhaupt nur Möglichkeit diese miteinander zu multiplizieren, nämlich [mm] $C=A\cdot [/mm] B$ und das ist eine 4x3-Matrix (4 Zeilen und 3 Spalten!).
> im b-teil der aufgabe hatten wir
> dann die einheiten des endprodukts gegeben und sollten den
> rohstoffbedarf ausrechnen. da nun aber die matrix der
> endprodukte nur eine spalte mit 4 zeilen hat, kann ich sie
> auf diese weise nicht mit C multiplizieren, was bedeutet,
> dass ich C transponieren muss, oder??
Ich verstehe zwar nicht ganz was du mit der "Matrix der Endprodukte" meinst, aber ich kann eine 3x4-Matrix wunderbar von links mit einer 4x1-Matrix multiplizieren... Trotzdem denke ich, dass du irgendwas falsch gemacht hast, da wie gesagt m.E. nach die Gesamtmatrix C eine 4x3 Matrix sein müsste.
> Wenn also C zum weiterrechnen nicht passend ist muss ich
> sie immer einfach transponieren, stimmt das so?
Also als Mathematiker würde ich dir sagen: Wenn das Matrixformat nicht passt dann hast du irgendwas "total" falsch gemacht. Aber als "Ingenieur" würde ich sagen: Transponieren und gucken ob was sinnvolles rauskommt. Auf keinen Fall solltest du aber dein Gehirn abschalten und dich auf solche "Bauernregeln" zurückziehen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 12.09.2009 | | Autor: | locke91 |
ohh man, das tut mir leid, das muss jetzt echt verwirrend gewesen sein, ich glaub ich stell die frage lieber nochmal als konkretes beispiel, da ich (wie ich beim nochmaligen lesen festgestellt habe) mich oben einmal vertan hab mit einer zeilenanzahl, und das deswegen echt gar keinen sinn gemacht hat.
also, von 4 rohstoffen zu 2 zwischenprodukten entsteht matrix A: [mm] \pmat{ 3 & 0 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 7 & 2 } [/mm] . von den 2 zwischenprodukten zu 3 endprodukten entsteht die matrix B: [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 5 } [/mm] .
um nun die verflechtungsmatrix C zu erhalten rechne ich B * A und erhalte [mm] \pmat{ 20 & 4 & 18 & 24 \\ 10 & 2 & 9 & 12 \\ 20 & 10 & 35 & 10 }.
[/mm]
nun habe ich die Einheiten der endpodukte gegeben : [mm] \pmat{ 10500 \\ 15000 \\ 20000 } [/mm] und möchte sie mit der Verflechtungsmatrix multiplizieren um die rohstoffe zu erhalten. das geht dann aber nur in transponierter form, oder?? hat es allgemeingültigkeit, dass ich die matrix dann einfach transponieren darf??
dir, robert, auf jeden fall nochmal vielen vielen dank. ich hoffe ich bin dir mit meiner fragerei noch nicht allzu sehr auf die nerven gegangen und meine frage ist jetzt verständlich ausgedrückt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Sa 12.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> also, von 4 rohstoffen zu 2 zwischenprodukten entsteht
> matrix A: [mm]\pmat{ 3 & 0 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 7 & 2 }[/mm].
Ok, ich denke man sollte hier eigentlich die Transponierte von A nehmen, denn wozu benutzt du A? Du multiplizierst mit dem Vektor der Zwischenprodukte und bekommst den Vektor der benötigten Rohstoffe. Das klappt aber nur wenn du hier, wie gesagt, [mm] A^T [/mm] benutzt.
> von den 2 zwischenprodukten zu 3 endprodukten entsteht die matrix
> B: [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 5 }[/mm] .
dito.
> um nun die verflechtungsmatrix C zu erhalten rechne ich B
> * A und erhalte [mm]\pmat{ 20 & 4 & 18 & 24 \\ 10 & 2 & 9 & 12 \\ 20 & 10 & 35 & 10 }.[/mm]
Bei deiner Rechnung richtig.
> nun habe ich die Einheiten der endpodukte gegeben : [mm]\pmat{ 10500 \\ 15000 \\ 20000 }[/mm]
> und möchte sie mit der Verflechtungsmatrix multiplizieren
> um die rohstoffe zu erhalten. das geht dann aber nur in
> transponierter form, oder?? hat es allgemeingültigkeit,
> dass ich die matrix dann einfach transponieren darf??
Ja, transponieren ist richtig. Es wäre aber nicht nötig, wenn du von Anfang an mit den richtigen Matrizen A und B gerechnet hättest.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 So 13.09.2009 | | Autor: | locke91 |
wow, ich glaub jetzt hab ichs!!! also, es hängt davon ab, welche angaben ich gegeben habe und was ich ausrechnen möchte, wie rum ich die matrix aufstelle, oder?? da ich das endprodukt gegeben habe und die rohstoffe ausrechnen will rechne die transponierte matrix A (von endprodukt nach zwischenprodukt) mal die transponierte matrix B (von zwischenprodukt zu rohstoff) und erhalte dann die transponierte matrix C. wenn ich diese mit den endprodukten multipliziere erhalte ich die rohstoffe.
wäre die aufgabe so gewesen, dass ich die rohstoffe angegeben gehabt hätte, dann hätte ich meine oben angegebene matrix C (aus B*A nicht transponiert) gebraucht, weil ich dann die endprodukte hätte ausrechnen müssen, stimmt das so weit?
also ich habe das gefühl, dass ichs jetzt echt voll und ganz verstanden habe, ich hoff mal wie ichs oben aufgeschrieben habe stimmt es dann jetzt endlich.
muss mich echt noch mal bei dir bedanken, robert. also das forum hier ist echt klasse! ich hab auch schonmal geguckt, ob ich nicht auch irgendwo helfen kann, leider übersteigen die meisten probleme aber meinen wissensbereich. na ja, vllt find ich ja später noch was, wo ich auch mal antworten geben kann anstatt immer nur zu fragen  .
liebe grüße, locke91
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 So 13.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> wäre die aufgabe so gewesen, dass ich die rohstoffe
> angegeben gehabt hätte, dann hätte ich meine oben
> angegebene matrix C (aus B*A nicht transponiert) gebraucht,
> weil ich dann die endprodukte hätte ausrechnen müssen,
> stimmt das so weit?
Dieser Teil stimmt nicht. Wenn du zu gegebenen Rohstoffen die Endprodukte berechnen willst, müsstest du die Matrix C invertieren. Im allgemeinen ist das jedoch nicht möglich, da C nicht nur quadratisch, sondern auch invertierbar sein muss (wobei die letzte Einschränkung in der Realität eher technischer Natur ist). Ein Beispiel:
Es gibt zwei Rohstoffe A und B und zwei Endprodukte C und D. Für die Herstellung von C benötigt man jeweils eine Einheit von A und B, für die Herstellung von D jeweils 2. Kannst du nun eindeutig sagen, welche Endprodukte aus 4 Einheiten A und 4 Einheiten B hergestellt wurden?
In diesem Fall ist nämlich die Übergangsmatrix sogar quadratisch, aber nicht invertierbar!
> ich hab auch schonmal geguckt,
> ob ich nicht auch irgendwo helfen kann, leider übersteigen
> die meisten probleme aber meinen wissensbereich. na ja,
> vllt find ich ja später noch was, wo ich auch mal
> antworten geben kann anstatt immer nur zu fragen .
Ich denke ich spreche für viele hier wenn ich sage, dass es uns immer freut sowas zu hören.
Gruß, Robert
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