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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Do 03.09.2009 | | Autor: | DarkCell |
| Aufgabe | | Man berechne zur Funktion f(x)= [mm] x^{3} [/mm] den natürlichen kubischen Interpolationsspline s(x) zu den Knoten [mm] x_{j}=j [/mm] für j= 0,1,2,3 und zeichne die Funktionsgraphen von s(x) und f(x). Warum kann s(x) nicht mit f(x) übereinstimmen? |
Also ich weiß, dass sich die Splines in der Form:
[mm] s_{j}(x) [/mm] = [mm] a_{j} [/mm] + [mm] b_{j}(x-x_{j-1})+c_{j}(x-x_{j-1})^{2}+d_{j}(x-x_{j-1})^{3}
[/mm]
zusammensetzen und für natürliche Splines zusätzlich gilt:
s''(0)=0 und s''(3)=0
Als einziges Tipp habe ich bisher gefunden, dass ich die Momentenmethode benutzen muss um [mm] a_{j} [/mm] bis [mm] d_{j} [/mm] rauszukriegen, aber ich weiß nicht wie sie funktioniert bzw wie ich sie anwenden muss.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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Hallo DarkCell,
> Man berechne zur Funktion f(x)= [mm]x^{3}[/mm] den natürlichen
> kubischen Interpolationsspline s(x) zu den Knoten [mm]x_{j}=j[/mm]
> für j= 0,1,2,3 und zeichne die Funktionsgraphen von s(x)
> und f(x). Warum kann s(x) nicht mit f(x) übereinstimmen?
> Also ich weiß, dass sich die Splines in der Form:
> [mm]s_{j}(x)[/mm] = [mm]a_{j}[/mm] +
> [mm]b_{j}(x-x_{j-1})+c_{j}(x-x_{j-1})^{2}+d_{j}(x-x_{j-1})^{3}[/mm]
> zusammensetzen und für natürliche Splines zusätzlich
> gilt:
> s''(0)=0 und s''(3)=0
>
> Als einziges Tipp habe ich bisher gefunden, dass ich die
> Momentenmethode benutzen muss um [mm]a_{j}[/mm] bis [mm]d_{j}[/mm]
> rauszukriegen, aber ich weiß nicht wie sie funktioniert
> bzw wie ich sie anwenden muss.
Als Momente bezeichnet man hier
[mm]M_{j}=s''\left(f,x_{j}\right)[/mm]
Mit Hilfe dieser Momente kann man nun die interessierende Spline-Funktion leicht angeben.
Da s'' eine lineare Funktion ist, kann man diese mit Hilfe der Momente
so darstellen:
[mm]s''\left(f,x\right)=M_{j}*\bruch{x_{j+1}-x}{x_{j+1}-x_{j}}+M_{j+1}*\bruch{x-x_{j}}{x_{j+1}-x_{j}}, \ x \in \left[x_{j},x_{j+1}\right][/mm]
Durch Integration erhalten wir
[mm]s'\left(f,x\right)=-M_{j}*\bruch{\left(x_{j+1}-x\right)^{2}}{2*\left(x_{j+1}-x_{j}\right)}+M_{j+1}*\bruch{\left(x-x_{j}\right)^{2}}{2*\left(x_{j+1}-x_{j}\right)}+A_{j}, \ x \in \left[x_{j},x_{j+1}\right][/mm]
[mm]s\left(f,x\right)=M_{j}*\bruch{\left(x_{j+1}-x\right)^{3}}{6*\left(x_{j+1}-x_{j}\right)}+M_{j+1}*\bruch{\left(x-x_{j}\right)^{3}}{6*\left(x_{j+1}-x_{j}\right)}+A_{j}*\left(x-x_{j}\right)+B_{j}, \ x \in \left[x_{j},x_{j+1}\right][/mm]
Da [mm]s\left(f,x_{j}\right)=f\left(x_{j}\right)=f_{j}[/mm] erhält man ein
lineares Gleichungssystem für [mm]A_{j}, \ B_{j}[/mm].
Damit hat man die interessierende Splinefuktion nur mit Hilfe der Momente ausgedrückt.
Es bleibt noch die Bestimmung der Momente.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Gruss
MathePower
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