Endomorphismus von Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V und x ∈ V , so dass
f¨ur eine ganze Zahl n ≥ 0 gilt:
fn(x) 6= 0V , fn+1(x) = 0V ,
wobei fn die n-fache Nacheinanderausf¨uhrung der Abbildung f bezeichne. Man beweise,
dass dann die Vektormenge M = {x, f(x), ..., fn(x)} linear unabh¨angig ist.
(Hinweis: vollst¨andige Induktion) |
Kann mir jemand sagen wie ich die Aufgabe lösen könnte? Ich probier mich schon ne Weile und find keinen Ansatz ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo levoniana,
also insbesondere folgt aus den Vorauss. doch [mm] x\neq [/mm] 0.
Probieren wir zunaechst einen direkten Ansatz:
es seien [mm] x\neq [/mm] 0, ..... [mm] f^n(x)\neq [/mm] 0 [mm] f^{n+1}(x)=0
[/mm]
Annahme x ,...., [mm] f^n(x) [/mm] waeren lin abh., so koennte man sie per def. nichttrivial linear zum Nullvektor
kombinieren:
[mm] \lambda_0\cdot [/mm] x +....+ [mm] \lambda_n\cdot f^n(x)=0
[/mm]
und mind. ein [mm] \lambda_i [/mm] ungleich 0.
Sei nun j minimal mit [mm] \lambda_j\neq [/mm] 0, dann gilt also
[mm] \lambda_j\cdot f^j(x)+....+\lambda_nf^n(x)=0
[/mm]
Wenden wir darauf nun f an, so folgt
[mm] \lambda_j\cdot f^{j+1}(x) [/mm] +.... [mm] +\lambda_n\cdot f^{n+1}(x)=0
[/mm]
wobei der letzte Summand nach Vor. 0 ist.
Wenn wir also j maximal so nehmen, dass [mm] f^j(x),..,f^n(x) [/mm] lin abh. so erhalten wir
(wg [mm] j\neq [/mm] n) einen Widerspruch zu dieser Annahme.
Hilft das weiter ? Ist sozusagen der Loesungsweg, und am Ende sieht man, wie das
Argument lautet.
Gruss,
Mathias
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