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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 16.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | | Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und T : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus. Es sei [mm] W_{0} [/mm] := V und [mm] W_{i+1} [/mm] := T( [mm] W_{i} [/mm] ) für i [mm] \in \IN. [/mm] Dann existiert ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] W_{m+i} [/mm] = [mm] W_{m} [/mm] für alle i [mm] \in \IN. [/mm] |
Ich weiß, [mm] W_{0} [/mm] = V und [mm] W_{i+1} [/mm] := T( [mm] W_{i} [/mm] )
also ist [mm] W_{1} [/mm] = T(V), [mm] W_{2} [/mm] = T(T(V)) = [mm] T^{2}(V), [/mm] ...
ab einem m sind nun [mm] W_{m} [/mm] = ... = [mm] W_{i} [/mm] gleich.
Wie funktioniert dieser Beweis?
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> Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und T : V [mm]\to[/mm] V
> ein Endomorphismus. Es sei [mm]W_{0}[/mm] := V und [mm]W_{i+1}[/mm] := T(
> [mm]W_{i}[/mm] ) für i [mm]\in \IN.[/mm] Dann existiert ein m [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]W_{m+i}[/mm] = [mm]W_{m}[/mm] für alle i [mm]\in \IN.[/mm]
> Ich weiß, [mm]W_{0}[/mm] = V
> und [mm]W_{i+1}[/mm] := T( [mm]W_{i}[/mm] )
> also ist [mm]W_{1}[/mm] = T(V), [mm]W_{2}[/mm] = T(T(V)) = [mm]T^{2}(V),[/mm] ...
> ab einem m sind nun [mm]W_{m}[/mm] = ... = [mm]W_{i}[/mm] gleich.
> Wie funktioniert dieser Beweis?
Hallo,
mal kleine Gedanken dazu:
Es ist für jedes k [mm] W_{k+1}\subseteq W_k, [/mm] und die Dimension von [mm] W_0 [/mm] ist endlich.
Eventuell stehen Dir auch verwertbare Informationen über die Kernsequenz zur Verfügung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Die Dimension von [mm] W_{0} [/mm] ist klar endlich, da sie aus [mm] \IN [/mm] ist.
Ich habe meinen Tutor gefragt, wie das funktionieren soll. Ich muss nun erst die Inklusion [mm] W_{i+1} \subset W_{i} [/mm] beweisen.
Dann hat er irgendeine Folge [mm] a_{i} [/mm] genommen, warum und woher habe ich wirklich nicht verstanden, und hat dadurch die andere Inklusion gezeigt.
Ich kann leider wirklich garnichts mit dieser Aufgabe anfangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an es existiere kein m $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] W_{m+i} [/mm] $ = $ [mm] W_{m} [/mm] $ für alle i $ [mm] \in \IN. [/mm] $
Sei [mm] $a_n [/mm] = [mm] dim(W_{n})$ [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann ist [mm] (a_n) [/mm] eine streng monoton fallende Folge natürlicher Zahlen mit
$0 [mm] \le a_n \le [/mm] dim(V)$ für jedes n
Kann es so was geben ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Ich kann einfach nicht nachvollziehen, warum ich jetzt eine Folge heranziehe, die auch noch streng monoton fallend sein soll. Ich sehe da halt bisher noch keinerlei Zusammenhang. Auch was die dim(V) angeht.
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> Ich kann einfach nicht nachvollziehen, warum ich jetzt eine
> Folge heranziehe, die auch noch streng monoton fallend sein
> soll. Ich sehe da halt bisher noch keinerlei Zusammenhang.
> Auch was die dim(V) angeht.
Hallo,
atme erstmal tief ein.
Wenn Du Angst vor "Folge" hast, dann nennen wir's halt erstmal anders.
Daß [mm] W_{k+1}\subseteq W_k [/mm] ist für jedes k hast Du schon verkraftet?
Wenn doch nun [mm] W_{k+1} [/mm] ein Unterraum von [mm] W_k [/mm] ist, dann ist ja dessen Dimension selbstverständlich nicht größer als die von [mm] W_k. [/mm] Sonst wär's ja kein Unterraum.
Der Raum mit der größten Dimension n ist [mm] V_0.
[/mm]
Wenn Deine Bildkette nie stationär wird, dann geht immer noch eine Dimension weniger. Irgendwann wäre man bei 0-dimensional angekommen. Und dann? Geht's noch kleiner?
Wenn Du das vedaut hast, dann kannst Du (einfach zum Abkürzen...) die Dimension von [mm] W_k [/mm] mit [mm] d_k [/mm] bezeichnen.
Dir sollte nun klar sein [mm] n=d_{0}\ge d_1\ge d_2\ge ...\ge d_k \ge d_{k+1} \ge [/mm] ... [mm] \ge [/mm] 0.
Kann das klappen, daß nie die Situation eintritt, daß ab einer Schwelle k sich die Dimensionen nicht mehr verändern?
Wenn ja, dann überzeug mich durch ein Beispiel, also solch eine Abfolge von Dimensionen, bei der das so ist. Z.B. für n=5.
Gruß v. Angela
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