Endomorphismen in Polynome... < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei K ein Körper. Welche Objekte dürfen Sie in Polynome p [mm] \in [/mm] K[T] einsetzen? |
Hallo,
also ich weiß, dass man Elemente aus [mm] M_n_n [/mm] (K) und Elemente aus K einsetzen kann. Das ist mir klar und ich weiß, wie das funktioniert. Man kann ja aber auch noch Endomorphismen eines endlichdimensionalen Vektorraumes einsetzen. So, und darunter kann ich mir nichts richtig konkretes vorstellen. Also, ich meine wie sieht das praktisch rechnerisch aus? Was setzte ich da genau in das Polynom ein? Oder ist es im Prinzip in dem Fall auch eine Matrix, die ich in das Polynom einsetze?
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen. Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mi 16.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Du kannst da alles einsetzen, was du:
1) Addieren kannst
2) mit einem Element aus K multiplizieren kannst ("Skalarmultiplikation")
3) mit sich selbst multiplizieren kannst ("Inneres Produkt", Assoziativität ist hier wichtig und ein neutrales Element)
Allgemein nennt man sowas eine (assotiative) Algebra (über dem Körper K) oder auch Innenproduktraum. z.B. ist jeder Körper eine Algebra (über sich selbst)
oder auch Vektorraumendomorphismen (dabei ist die das Innere Produkt die Hintereinanderausführung, entspricht der Matrizenmultiplikation im endlich-dimensionalen Fall). Aber im Grunde sind der Phantasie keine Grenzen gesetzt...
Edit: Achja, konkret sieht das für die K-Vektorraum Endomorphismen so aus:
z.B. [mm] p(t)=2t^2-t+5\in [/mm] K[t] und [mm] \varphi\in [/mm] End(V)
dann ist [mm] $p(\varphi)=2\varphi^2-\varphi+5\cdot id_V=2(\varphi\circ\varphi) [/mm] - [mm] \varphi +5id_V$
[/mm]
Gruß, Robert
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ok, vielen Dank erstmal und viele Grüße!
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