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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 So 23.09.2012 | | Autor: | cyawik |
Hallo zusammen
Ich möchte gerne das Inverse von $x+1 + [mm] $ [/mm] im endlichen Körper [mm] $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[x]/$ [/mm] bestimmen. Dazu meine Rechnung (euklidischer Algo):
[mm] $(x^2+1) [/mm] = (x+2)(x+1) + 2$
$(x+1) = (2x+2) [mm] \cdot [/mm] 2 + 0$
Das würde bedeuten, 2 ist der grösste gemeinsame Teiler von [mm] $x^2+1$ [/mm] und $x+1$. Stimmt das, oder sollte der nicht 1 sein?
Wenn ich nämlich jetzt die obere Gleichung umstelle, erhalte ich
$2 = [mm] (x^2+1) [/mm] + (2x+1)(x+1)$.
Dann würde dies bedueten, dass $2x+1$ das Inverse von $x+1$ ist, was aber nicht stimmt, da $x+2$ die richtige Lösung ist.
Was mache ich falsch?
Freundliche Grüsse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 So 23.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich möchte gerne das Inverse von [mm]x+1 + [/mm] im
> endlichen Körper [mm](\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[x]/[/mm]
> bestimmen. Dazu meine Rechnung (euklidischer Algo):
>
> [mm](x^2+1) = (x+2)(x+1) + 2[/mm]
> [mm](x+1) = (2x+2) \cdot 2 + 0[/mm]
>
> Das würde bedeuten, 2 ist der grösste gemeinsame Teiler
> von [mm]x^2+1[/mm] und [mm]x+1[/mm]. Stimmt das,
Das stimmt nicht. 2 ist ein groesster gemeinsamer Teiler von [mm] $x^2 [/mm] + 1$ und $x+1$. Genauso wie 1 ein ggT von den beiden ist. Den ggT gibt es (abgesehen von Ausnahmen) nie.
Was es dagegen gibt, ist der eindeutig bestimmte normierte ggT. Der ist hier gleich 1.
> Wenn ich nämlich jetzt die obere Gleichung umstelle,
> erhalte ich
> [mm]2 = (x^2+1) + (2x+1)(x+1)[/mm].
Und wenn du die Gleichung mit [mm] $2^{-1} [/mm] = 2$ multiplizierst, erhaelst du $1 = 2 [mm] (x^2 [/mm] + 1) + (x + 2) (x + 1)$.
Damit ist $x + 2$ das Inverse von $x + 1$.
> Dann würde dies bedueten,
> dass [mm]2x+1[/mm] das Inverse von [mm]x+1[/mm] ist,
Nein. Schliesslich steht links nicht 1, sondern 2.
> was aber nicht stimmt,
> da [mm]x+2[/mm] die richtige Lösung ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 So 23.09.2012 | | Autor: | cyawik |
Vielen Dank Felix, da habe ich etwas grundlegendes gelernt! Ich wünsche dir einen schönen Abend.
Grüsse
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