Endliche abelsche Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Allgemeine Frage. |
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Warum ist in einer beliebigen endlichen abelschen Gruppe der Ordnung 100 mindestens ein Element der Ordnung 2 enthalten??
Ich weiss sehr wohl, dass die Ordnung der Elemente ein Teiler der Ordnung der Gruppe sein müssen. Aber warum kann in diesem Fall nicht eine Gruppe existieren, dessen Elemente nur Ordnung 5 und/oder Ordnung 25 haben?
Ist das immer so, dass Gruppen gerader Ordnung ein Element der Ordnung 2 haben müssen?
Vielen Dank schon mal für mögliche Antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mo 14.07.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Warum ist in einer beliebigen endlichen abelschen Gruppe
> der Ordnung 100 mindestens ein Element der Ordnung 2
> enthalten??
jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer Gruppen (oder einer einzigen zyklischen Gruppe).
Und jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu einem [mm] $\IZ_n$ [/mm] und enthält daher Untergruppen der Ordnung eines jeden Teilers ihrer Ordnung.
Das ist sehr einfach zu sehen. Mach es dir klar an einem Beispiel mit einem [mm] $\IZ_{100}$: [/mm] Das Element 50 hat Ordnung 2.
Ist deine Gruppe der Ordnung 100 jetzt aber ein Produkt zyklischer Gruppen, dann muß einer der Faktoren eine Ordnung haben, die durch 2 teilbar ist. Dort wählst du das entsprechende Element und aus den anderen Faktoren jeweils die 1 dazu. Damit hast du dein gesuchtes Element der Ordnung 2.
> Ich weiss sehr wohl, dass die Ordnung der Elemente ein
> Teiler der Ordnung der Gruppe sein müssen. Aber warum kann
> in diesem Fall nicht eine Gruppe existieren, dessen
> Elemente nur Ordnung 5 und/oder Ordnung 25 haben?
Wenn wir mal vom neutralen Element, welches immer Ordnung 1 hat absehen:
Alle anderen Elemente von [mm] $\IZ_5$ [/mm] haben Ordnung 5.
Mit der 25 wirds nicht gehen, weil jede Gruppe der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] abelsch ist (p eine Primzahl).
> Ist das immer so, dass Gruppen gerader Ordnung ein Element
> der Ordnung 2 haben müssen?
solange du von abelschen Gruppen sprichst: ja
Begründung: siehe oben.
LG
Will
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Vielen Dank,
jetzt habe ichs verstanden, super!!
mfg
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