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| Aufgabe | Sei $K$ ein endlicher Körper. Zeigen Sie:
a.) Es gibt ein [mm]p \in \IN[/mm] mit [mm] $\underbrace{1+1+\cdots+1}_{p\text{ mal}} [/mm] = 0$. |
Hallo zusammen, ich wünsche euch zunächst einmal frohe Ostern :)
Habe mir gerade ein "Aufwärmübungsblatt" für das Sommersemester angesehen und frage mich was bei der Aufgabe überhaupt zu tun ist. Nachdem wir in der VL kaum endliche Körper behandelt haben, habe ich nach der Definition gegoogelt, aber da wird auf mir unbekannte Galoisfelder zurückgegriffen und daher nun meine Überlegungen.
Wir haben Restklassenringe behandelt und es ist klar, dass [mm] $\IZ_n$ [/mm] mit $n =$ Primzahl ein "endlicher" Körper ist. Die additive Gruppe dieser Körper ist zyklisch, weswegen ein solches $p$ selbstverständlich existiert.
Reicht das zur Begründung oder muss ich einen weiteren Punkt berücksichtigen?
Grüße
Joe
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Hallo Joe,
ein endlicher Körper ist keine spezielle Definition. Es ist schlicht ein Körper der endlich ist (d.h. [mm] $|K|<\infty$).
[/mm]
Galoisfeld ist einfach ein anderer Name endlicher Körper.
Deine Begründung reicht nicht.
Du zeigst nur für einige endliche Körper, dass sie die gewünschte Eigenschaft haben. Es gibt aber endliche Körper die nicht von der Form [mm] $\mathbb [/mm] Z [mm] /n\mathbb [/mm] Z $ sind.
>Die additive Gruppe dieser Körper ist zyklisch, weswegen ein solches $ p
>$ selbstverständlich existiert.
Nein. Die Endlichkeit stellt das sicher. Das hat mit zyklisch nicht viel zu tun. Und in wie fern ist die Existenz eines solchen p selbstverständlich?
Du brauchst für den Beweis nur die Endlichkeit und musst nicht wissen wie K konkret aussieht.
Vielleicht ist der Beweis für die Endlichkeit der Ordnung in endlichen Gruppen bekannt?
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Hallo sometree,
das mit meiner mangelhaften Begründung habe ich mir schon fast gedacht :)
Das mit der Argumentation über zyklische Gruppen ist natürlich im Grunde trivial, denn wie du ja richtig bemerkt hast ist aufgrund der Endlichkeit der additiven Gruppe das Entscheidende.
Meine neue Überlegung ist also, da der Körper, also auch die additive Gruppe endlich sind haben nach Lagrange alle Gruppenelemente eine endliche Ordnung, welche Teiler der Gruppenordnung ist, also existiert ein $p [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $1^p [/mm] = 0$.
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> Hallo sometree,
>
> das mit meiner mangelhaften Begründung habe ich mir schon
> fast gedacht :)
>
> Das mit der Argumentation über zyklische Gruppen ist
> natürlich im Grunde trivial,
Nein es ist falsch.
Meiner Meinung nach sollten Worte wie trivial, selbstverständlich, offensichtlich u.ä. möglichst selten, von Erstsemestern gar nicht verwendet werden.
> denn wie du ja richtig
> bemerkt hast ist aufgrund der Endlichkeit der additiven
> Gruppe das Entscheidende.
>
> Meine neue Überlegung ist also, da der Körper, also auch
> die additive Gruppe endlich sind haben nach Lagrange alle
Lagrange ist etwas schweres Geschütz aber o.k.
> Gruppenelemente eine endliche Ordnung, welche Teiler der
> Gruppenordnung ist, also existiert ein [mm]p \in \IN[/mm] mit [mm]1^p = 0[/mm].
Wir betrachten hier eine additive, keine multiplikative Gruppe.
Was war eigentlich zu zeigen?
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Hallo sometree,
> Nein es ist falsch.
> Meiner Meinung nach sollten Worte wie trivial,
> selbstverständlich, offensichtlich u.ä. möglichst
> selten, von Erstsemestern gar nicht verwendet werden.
Bei zyklisch habe ich trivial nur verwendet, weil ich immernoch über die Restklassenringe nachgedacht habe und dass diese einen Erzeuger haben ist offensichtlich :)
> Lagrange ist etwas schweres Geschütz aber o.k.
> > Gruppenelemente eine endliche Ordnung, welche Teiler der
> > Gruppenordnung ist, also existiert ein [mm]p \in \IN[/mm] mit [mm]1^p = 0[/mm].
> Wir betrachten hier eine additive, keine multiplikative
> Gruppe.
> Was war eigentlich zu zeigen?
Ich glaube du verwechselst die Schreibweise. Wenn man die Ordnung eines Gruppenelements meint, schreibt man laut VL und Wikipedia das in Potenzschreibweise und meint damit eigentlich eine Addition mit Faktor $p$ :)
Zu zeigen war lediglich die Existenz der Charakteristik eines endlichen Körpers und das ist ja eine unmittelbare Folgerung aus der Endlichkeit der additiven Gruppe und somit nach Lagrange der Endlichkeit der Ordnungen jedes Gruppenelements, insbesondere also auch des Einselements.
Das sollte doch ausreichen, jedenfalls habe ich jetzt meinen Fehler kapiert und das ist schon immer ein gutes Zeichen.
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> Ich glaube du verwechselst die Schreibweise. Wenn man die
> Ordnung eines Gruppenelements meint, schreibt man laut VL
> und Wikipedia das in Potenzschreibweise und meint damit
> eigentlich eine Addition mit Faktor [mm]p[/mm] :)
Ich verwechsle hier definitiv keine Schreibweisen.
Allgemein schreibt man Gruppen multiplikativ, daher auch die Formulierungen im Wiki. Hier ist die Operation aber Addition.
Und du sollst $1+ [mm] \ldots +1=p\cdot [/mm] 1=0$ zeigen nicht [mm] $1^p=0$.
[/mm]
Das macht aus einem weiteren Grund keinen Sinn, denn $K^*$ ist per Definition multiplikativ abgeschlossen.
> Zu zeigen war lediglich die Existenz der Charakteristik
> eines endlichen Körpers und das ist ja eine unmittelbare
> Folgerung aus der Endlichkeit der additiven Gruppe und
> somit nach Lagrange der Endlichkeit der Ordnungen jedes
> Gruppenelements, insbesondere also auch des Einselements.
>
der additiven Ordnung. Die multiplikative Ordnung von 1 ist ja relativ langweilig.
> Das sollte doch ausreichen, jedenfalls habe ich jetzt
> meinen Fehler kapiert und das ist schon immer ein gutes
> Zeichen.
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Hallo sometree,
danke für deine Antworten. Wie gesagt, wir haben in der VL die Ordnung eines Gruppenelements auch bei additiven Gruppen als Potenz geschrieben. Bei wiki steht es mit einer multiplikativen Gruppe - mein Fehler.
Einigen wir uns dann auf die Formulierung, nach Lagrange ist die Ordnung jedes Gruppenelements (der additiven Gruppe), insbesondere auch des Einselements, endlich. Es existiert daher [mm] $\operatorname{ord}(1) [/mm] =: p [mm] \in \IN$.
[/mm]
Ist der Beweis neben der kleinen formalen Fehler korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 03.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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