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| Aufgabe | Sei [mm] $\IZ_{5}[x]/q$ [/mm] mit [mm] $q(x)=x^{2}+2$
[/mm]
a) Was ist die Anzahl der Elemente in [mm] $\IZ_{5}[x]/q$?
[/mm]
b) Geben Sie die Charakteristik des Körpers an.
c) Rechnen Sie im Körper $(x+1)*(x+1)$.
d) Rechnen Sie im Körper $4x*(3x+2)$.
e) Geben Sie das multiplikative Inverse zu $2x+1$ an.
f) Beweisen oder widerlegen Sie in höchstens 2 Sätzen: [mm] $(\IZ_{5}[x]/q)^{5}$ [/mm] ist ein Körper. |
Hallo,
mir liegt leider die Lösung nicht vor und ich bitte deshalb einerseits um Korrektur und andererseits um etwas Hilfe bei der f).
a) [mm] $5^{2}=25$
[/mm]
b) 5, da $1+1+1+1+1=0$
c) [mm] $(x+1)*(x+1)=x^{2}+2x+1$, [/mm] dividiert durch q(x) und anschließendem (mod 5) ergibt $2x+4$.
d) [mm] $4x*(3x+2)=12x^{2}+8x$, [/mm] dann (mod 5) zur Vereinfachung, dann dividiert durch q(x) und anschließend nochmal (mod 5) ergibt $3x+1$.
e) Das Inverse von 2 ist 3 und das Inverse von 1 ist 1, deshalb $3x+1$.
f) - Leider bin ich hier überfragt -
Sorry, dass ich die Rechnungen ausgelassen habe, aber mir fehlt wegen der Klausurvorbereitung die Zeit. Hoffe dennoch, dass sich jemand zur Hilfe bereit erklärt.
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Sa 22.09.2012 | | Autor: | teo |
> Sei [mm]\IZ_{5}[x]/q[/mm] mit [mm]q(x)=x^{2}+2[/mm]
>
> a) Was ist die Anzahl der Elemente in [mm]\IZ_{5}[x]/q[/mm]?
> b) Geben Sie die Charakteristik des Körpers an.
> c) Rechnen Sie im Körper [mm](x+1)*(x+1)[/mm].
> d) Rechnen Sie im Körper [mm]4x*(3x+2)[/mm].
> e) Geben Sie das multiplikative Inverse zu [mm]2x+1[/mm] an.
> f) Beweisen oder widerlegen Sie in höchstens 2 Sätzen:
> [mm](\IZ_{5}[x]/q)^{5}[/mm] ist ein Körper.
> Hallo,
>
> mir liegt leider die Lösung nicht vor und ich bitte
> deshalb einerseits um Korrektur und andererseits um etwas
> Hilfe bei der f).
>
> a) [mm]5^{2}=25[/mm]
>
> b) 5, da [mm]1+1+1+1+1=0[/mm]
>
> c) [mm](x+1)*(x+1)=x^{2}+2x+1[/mm], dividiert durch q(x) und
> anschließendem (mod 5) ergibt [mm]2x+4[/mm].
>
> d) [mm]4x*(3x+2)=12x^{2}+8x[/mm], dann (mod 5) zur Vereinfachung,
> dann dividiert durch q(x) und anschließend nochmal (mod 5)
> ergibt [mm]3x+1[/mm].
Bis hierhin stimmts.
> e) Das Inverse von 2 ist 3 und das Inverse von 1 ist 1,
> deshalb [mm]3x+1[/mm].
Nein, dass stimmt nicht. Die Argumentation ist auch komisch. Eigentlich müsstest du das mit dem euklidischen Algorithmus nachrechnen. Führt hier auch schnell zum Ergebnis.
Überprüfen liefert dir nämlich: $(3x+1)(2x+1) = [mm] x^2 [/mm] + 1 [mm] \not= [/mm] 1 [mm] mod(x^2+2)$
[/mm]
>
> f) - Leider bin ich hier überfragt -
>
Ich leider auch.
> Sorry, dass ich die Rechnungen ausgelassen habe, aber mir
> fehlt wegen der Klausurvorbereitung die Zeit. Hoffe
> dennoch, dass sich jemand zur Hilfe bereit erklärt.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Grüße
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Hallo teo,
Danke erstmal für Deine Hilfe.
e) Ermittelt man das Inverse hier mit dem Euklidischen Algorithmus? Irgendwie bin ich jetzt verwirrt...
f) OK, hoffentlich liest dann noch jemand den Thread, der das weiß.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 22.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
Euklidischer Algorithmus: (bei komplexeren Polynomen mittels Polynomdivision)
[mm] x^2+ 2 = (2x+1)(3x+1) +1 \Rightarrow 1 = (x^2+2) - (2x+1)(3x+1) [/mm]
Also: $1 [mm] \equiv (x^2+2) [/mm] - (3x+1)(2x+1) [mm] \equiv [/mm] - (3x+1)(2x+1) = (2x+4)(2x+1)$ mod [mm] $(x^2+2)$ [/mm] Also ist $-(3x+1) = 2x+4$ das Inverse zu $2x+1$ modulo [mm] $(x^2+2)$.
[/mm]
Zu f) Da bin ich mir jetzt überhaupt net sicher, nur laut gedacht: Sei [mm] $\IF_5$ [/mm] der Körper mit 5 Elementen, dann gilt (Struktursatz für endliche Körper) [mm] $\IF_5[x]/(x^2+2) \cong \IF_{5^2}$ [/mm] Jetzt könnte es sein, ich hab keine Ahnung ob man das machen darf: [mm] $(\IF_{5^2})^5 [/mm] = [mm] \IF_{(5^2)^5}$. [/mm] Dann wäre das ein Körper....
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Hallo teo,
> Hallo,
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> Euklidischer Algorithmus: (bei komplexeren Polynomen
> mittels Polynomdivision)
>
> [mm]x^2+ 2 = (2x+1)(3x+1) +1 \Rightarrow 1 = (x^2+2) - (2x+1)(3x+1)[/mm]
>
> Also: [mm]1 \equiv (x^2+2) - (3x+1)(2x+1) \equiv - (3x+1)(2x+1) = (2x+4)(2x+1)[/mm]
> mod [mm](x^2+2)[/mm] Also ist [mm]-(3x+1) = 2x+4[/mm] das Inverse zu [mm]2x+1[/mm]
> modulo [mm](x^2+2)[/mm].
>
ich sehe nicht, wie die 1. Zeile entsteht.
Mit dem "erweiterten Euklid" rechne ich [mm] $(x^2+2) [/mm] / (2x+1)=1/2x-1/4$, Rest 2,25
Das scheint aber der falsche Weg zu sein...?
> Zu f) Da bin ich mir jetzt überhaupt net sicher, nur laut
> gedacht: Sei [mm]\IF_5[/mm] der Körper mit 5 Elementen, dann gilt
> (Struktursatz für endliche Körper) [mm]\IF_5[x]/(x^2+2) \cong \IF_{5^2}[/mm]
> Jetzt könnte es sein, ich hab keine Ahnung ob man das
> machen darf: [mm](\IF_{5^2})^5 = \IF_{(5^2)^5}[/mm]. Dann wäre das
> ein Körper....
Ich kann zwar nicht ganz folgen, aber mal sehen, ob noch jemand etwas posten wird. 
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Sa 22.09.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo teo,
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> > Hallo,
> >
> > Euklidischer Algorithmus: (bei komplexeren Polynomen
> > mittels Polynomdivision)
> >
> > [mm]x^2+ 2 = (2x+1)(3x+1) +1 \Rightarrow 1 = (x^2+2) - (2x+1)(3x+1)[/mm]
>
> >
> > Also: [mm]1 \equiv (x^2+2) - (3x+1)(2x+1) \equiv - (3x+1)(2x+1) = (2x+4)(2x+1)[/mm]
> > mod [mm](x^2+2)[/mm] Also ist [mm]-(3x+1) = 2x+4[/mm] das Inverse zu [mm]2x+1[/mm]
> > modulo [mm](x^2+2)[/mm].
> >
>
> ich sehe nicht, wie die 1. Zeile entsteht.
> Mit dem "erweiterten Euklid" rechne ich [mm](x^2+2) / (2x+1)=1/2x-1/4[/mm],
> Rest 2,25
Also das ist jetz echt schmarrn! Du hast wohl das modulo 5 rechnen vergessen!
Also die erste Zeile entsteht einfach durch Polynomdivision (modulo 5!): [mm] $x^2+2 [/mm] : 2x+1 = 3x + 1$ Rest $1 [mm] \Rightarrow x^2+2 [/mm] = (2x+1)(3x+1) +1$ ?? so schwer?
> Das scheint aber der falsche Weg zu sein...?
>
> > Zu f) Da bin ich mir jetzt überhaupt net sicher, nur laut
> > gedacht: Sei [mm]\IF_5[/mm] der Körper mit 5 Elementen, dann gilt
> > (Struktursatz für endliche Körper) [mm]\IF_5[x]/(x^2+2) \cong \IF_{5^2}[/mm]
> > Jetzt könnte es sein, ich hab keine Ahnung ob man das
> > machen darf: [mm](\IF_{5^2})^5 = \IF_{(5^2)^5}[/mm]. Dann wäre das
> > ein Körper....
>
> Ich kann zwar nicht ganz folgen, aber mal sehen, ob noch
> jemand etwas posten wird.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Sa 22.09.2012 | | Autor: | el_grecco |
Sorry teo,
lerne heute schon seit mehreren Stunden für zwei Klausuren, da macht das Hirn irgendwann schlapp und man merkt es nichtmal. Jetzt ist es mir aber klar.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 So 23.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin grecco!
> Sei [mm]\IZ_{5}[x]/q[/mm] mit [mm]q(x)=x^{2}+2[/mm]
>
> f) Beweisen oder widerlegen Sie in höchstens 2 Sätzen:
> [mm](\IZ_{5}[x]/q)^{5}[/mm] ist ein Körper.
>
> f) - Leider bin ich hier überfragt -
Laut Aufgabenstellung ist $q$ irreduzibel (da [mm] $\IZ_5[x]/(q)$ [/mm] ein Koerper ist), aber das spielt hier keine Rolle.
Ist $R$ ein Ring, so ist die Menge der $n$-Tupel von $R$, bezeichnet mit [mm] $R^n$, [/mm] mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation immer ein Ring. Fuer $n = 2$ hast du aber z.B. $(0, 1) [mm] \cdot [/mm] (1, 0) = (0, 0)$, womit der Ring [mm] $R^2$ [/mm] nicht nullteilerfrei ist.
Kannst du das auf $n > 2$ verallgemeinern? Und kannst du jetzt was fuer $R = [mm] \IZ_5[x]/(q)$ [/mm] und $n = 5$ aussagen?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 So 23.09.2012 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Felix,
Danke erstmal für Deine Antwort.
Ich denke ich habe es begriffen:
Für $n=5$ nehme ich z.B. $(1,0,0,0,0)*(0,1,0,0,0)=(0,0,0,0,0)$ und damit ist der Ring [mm] $R^{5}$ [/mm] nicht nullteilerfrei, weshalb $ [mm] (\IZ_{5}[x]/q)^{5} [/mm] $ kein Körper ist.
Gruß,
el_grecco
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