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Endliche Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mi 25.05.2011
Autor: Harri612

Aufgabe
[...] Betrachten Sie die elliptische Kurve über [mm]GF(2^{161}[/mm] [...]

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[]hier

Warum werden endliche Körper bei kryptografischen Anwendungen häufig oder sogar immer mit einem primem Exponenten bei der Primzahlpotenz verwendet?

Konkret: Warum definiert man eine elliptische Kurve über [mm]GF(2^{161})[/mm] oder [mm]GF(2^{83})[/mm] statt über [mm]GF(2^{162})[/mm] oder [mm]GF(2^{82})[/mm]?

Ich weiß zwar, warum die Charakterisitk prim sein soll (Nullteilervermeidung), aber warum man eben einen primen Exponenten nimmt, entzieht sich meiner Kenntnis.
        
Bezug
Endliche Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Mi 25.05.2011
Autor: felixf

Moin!

> [...] Betrachten Sie die elliptische Kurve über [mm]GF(2^{161}[/mm]
> [...]
>  Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> []hier
>  
> Warum werden endliche Körper bei kryptografischen
> Anwendungen häufig oder sogar immer mit einem primem
> Exponenten bei der Primzahlpotenz verwendet?
>  
> Konkret: Warum definiert man eine elliptische Kurve über
> [mm]GF(2^{161})[/mm] oder [mm]GF(2^{83})[/mm] statt über [mm]GF(2^{162})[/mm] oder
> [mm]GF(2^{82})[/mm]?

Ganz einfach: solche Kurven sind (theoretisch) durch die Weil-Descent-Attacken angreifbar, da es falls $n$ nicht prim ist (mindestens) einen echten Zwischenkoerper zwischen [mm] $GF(2^n)$ [/mm] und $GF(2)$ gibt. Dies wurde zuerst von Gerhard Frey angeregt und dann von Gaudry, Hess und Smart genauer ausgefuehrt (und wird deswegen auch als GHS-Attacke bezeichnet).

(Siehe auch []hier.)

> Ich weiß zwar, warum die Charakterisitk prim sein soll

Sie muss prim sein. Andernfalls ist das Kryptosystem wesentlich besser angreifbar und die ganze Theorie (elliptische Kurven ueber Ringen) wird ungemein schwieriger.

> (Nullteilervermeidung), aber warum man eben einen primen
> Exponenten nimmt, entzieht sich meiner Kenntnis.

LG Felix

Bezug
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