Endl. galoisch Erweiterungen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 15.07.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe |
Sei [tex] E:K [/tex] eine endlich, galois'sche Körpererweiterung und [tex] \{ \alpha_{1},...,\alpha_{n} \} [/tex] eine Basis von E über K (also [tex] |G(E:K)| = n [/tex] ). Sei [tex] U = \{ \sigma_{1},...,\sigma_{m} \} [/tex] eine Untergruppe der Galois-Gruppe [tex] G(E:K) [/tex] und für [tex] \alpha \in E [/tex] sei [tex] Sp_{U}(\alpha] := \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha) [/tex]. Sei [tex] F [/tex] der Fixpunktkörper von [tex] U [/tex]. Dann gilt:
(i) [tex] F = \{ Sp_{U}(\alpha) | \alpha \in E \}[/tex].
(ii) [tex]F = K (Sp_{U}(\alpha_{1}),...,Sp_{U}(\alpha_{n}))[/tex].
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Aloha hé,
mir obiger Aufgabe durfte ich mich die Tage beschäftigen. Ich habe versucht, mir ein paar sinnvolle, und hoffendlich sogar für eine Lösung hinreichende Gedanken um den Beweis dieser Aussagen zu machen. Da ich mich und meine Schwäche - mangelnde Genauigkeit in der Formulierung - jedoch nur allzugut kenne, wollte ich meine Überlegungen mal einstellen und hoffe, dass jemand mal drüber liest und mir evtl. den einen oder anderen Denkanstoß gibt.
Zeigen muss ich ja bei (i) und (ii) jeweils zwei Inklusionen... also fangen wir mir (i) an:
(i) [tex] \supseteq [/tex] :
Zu zeigen ist, dass die Spur bzgl. U von allen [tex] \alpha \in E [/tex] gerade im Fixpunktkörper liegt. Hierfür muss ich also zeigen, dass die Spur eines Elementes [tex] \alpha \in E [/tex] von einem Automorphismus aus [tex] U [/tex] fix gelassen wird.
Seien nun [tex] \mu \in U , \alpha \in E [/tex] so gilt:
[tex] \mu Sp_{U}(\alpha) [/tex][tex] = \mu \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha) [/tex][tex] =* \summe_{\sigma \in U} \mu \sigma(\alpha) [/tex][tex] =** \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha) [/tex][tex] = Sp_{U}(\alpha) [/tex].
Dies scheint mir persönlich recht einleuchtend. Basiselemente des K-Vektorraums E werden durch die Autormorphismen aus U wieder auf Basiselemente abgebildet. Wegen der Summenschreibweise darf ich das [mm] \mu [/mm] deswegen bei =* in die Summe hineinziehen. Die Summe über alle [tex] \sigma [/tex] angewendet auf ein [tex] \alpha [/tex] durchläuft jedes [tex] \sigma \in U [/tex] exakt ein Mal. Da aber auch [tex] \mu \in U [/tex] verändert sich durch das [tex] \mu [/tex] lediglich die Reihenfolge, in der die Abbildungen auf [tex] \alpha [/tex] angewendet werden. Deswegen ist die Umformung bei =** legitim. (Hierbei ist natürlich die Endlichkeit der Erweiterung ausschlaggebend).
(i) [tex] \subseteq [/tex] :
Bei diesem Schritt tu ich mich schon etwas schwerer. Zeigen muss ich: Wenn ich ein [tex] a \in F [/tex] hernehme, dann ist dieses [tex] a [/tex] die Spur eines geeigneten [tex] \beta \in E [/tex].
Ich habe mal versucht, mir ein solches [tex] \beta [/tex] zu basteln. Heraus kam - durch Probieren:
[tex] \beta = [/tex][tex] \bruch{a}{Sp_{U}(\alpha})} \alpha[/tex]. Denn wenn ich die Spur bzgl. U auf dieses Elemente anwende erhalte ich gerade:
[tex] Sp_{U} (\bruch{a}{Sp_{U}(\alpha})} \alpha) =* \bruch{a}{Sp_{U}(\alpha}} Sp_{U}(\alpha} = a [/tex]
Bei =* gilt das, was ich oben bereits gezeigt habe: Die Spur von [tex] \alpha [/tex] liegt ja im Fixpunktkörper [tex] F [/tex]. Wenn ich mich nicht total irre, ist die Struktur meines [tex] \beta [/tex] auch in Ordnung - allerdings muss ich dafür garantieren, dass es ein [tex] \alpha \in E [/tex] gibt mit [tex] Sp_{U}(\alpha} \not= 0 [/tex]. Dass ein solches [tex] \alpha [/tex] existiert folgt meiner Meinung nach aus der Struktur der gegebenen Basis. Denn würde gelten [tex] Sp_{U}(\alpha) = \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha) \forall \alpha \in U [/tex], dann wären die Elemente aus [tex] U [/tex] linear abhängig über [tex] E [/tex], was der vorgegeben Struktur (also der Mächtigkeit der Galois-Gruppe) widerspräche.
(ii) [tex] \supseteq [/tex] :
Diese Richtung scheint mir einfacher - zumindest, wenn ich obiges benutzen kann. Der Fixpunktkörper von [tex] U [/tex] enthält per Definition ja all jene Elemente, die von Automorphismen aus [tex] U [/tex] festgelassen werden. Elemente [tex] \delta [/tex] aus K [mm] (Sp_{U}(\alpha_{1}),...,Sp_{U}(\alpha_{n})) [/mm] haben etwa die Form: [tex] \delta = a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n}) [/tex] mit [tex] a_{i} \in K [/tex] (K ist ja der Skalarenkörper). Wenn ich nun - analog zum ersten Teil - wieder ein [tex] \mu \in U [/tex] hernehme und aus dieses [tex] \delta [/tex] anwende, erhalte ich:
[tex] \mu (\delta) [/tex][tex] = \mu (a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n})) [/tex][tex] =* \mu (a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1})) + ... + \mu (a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n})) [/tex][tex] =** a_{1} \mu (Sp_{U}(\alpha_{1})) + ... + a_{n} \mu (Sp_{U}(\alpha_{n})) [/tex][tex] =*** a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n})[/tex].
Bei =* nutze ich die Linearität des bijektiven Automorphismus [tex] \mu [/tex] aus, ebenfalls bei =**, wobei hier hinzukommt, dass die Automorphismen aus [tex] U [/tex] Elemente aus dem Skalarenkörper [tex] K [/tex] ohnehin auf sich selbst abbilden. Bei =*** greift das gleiche Argument wie bei "(i) [tex] \supseteq [/tex]" - ich kann [tex] \mu [/tex] in die Summe hineinziehen und verändere damit lediglich die Reihenfolge, in der die Automorphismen auf das jeweilige [tex] \alpha [/tex] wirken.
(ii) [tex] \subseteq [/tex] :
Auch hierbei kann ich (i) benutzen, genauer gesagt "(i) [tex] \subseteq [/tex]". Ich weiß, dass jedes [tex] a \in F [/tex] die Spur eines [tex [mm] \alpha \in [/mm] E [/tex] ist. Per Definition lässt sich dieses [tex] \alpha [/tex] nun als Linearkombination der Basiselemente von E über K ausdrücken, also:
[tex] \alpha = a_{1} \alpha_{1} + ... + a_{n} \alpha_{n} [/tex] mit [tex] a_{i} \in K [/tex]. Dann folgt: [tex] a = Sp_{U}(\alpha) [/tex][tex] = Sp_{U}(a_{1} \alpha_{1} + ... + a_{n} \alpha_{n}) [/tex][tex] =* a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n}) [/tex].
Bei =* wird wie oben die Linearität benutzt.
Soweit meine Überlegungen dazu. Ich hoffe, dass jemand die Zeit findet da mal drüber zu schauen - ein paar kurze Hinweise zu meinem Vorgehen - vor allem, falls ich mal wieder ungenau gearbeitet haben sollte - würden mich sehr freuen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiter über diese Aufgabe grübeln tut.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 15.07.2007 | | Autor: | felixf |
Sali Lary :)
> Sei [tex]E:K[/tex] eine endlich, galois'sche Körpererweiterung und [tex]\{ \alpha_{1},...,\alpha_{n} \}[/tex]
> eine Basis von E über K (also [tex]|G(E:K)| = n[/tex] ). Sei [tex]U = \{ \sigma_{1},...,\sigma_{m} \}[/tex]
> eine Untergruppe der Galois-Gruppe [tex]G(E:K)[/tex] und für [tex]\alpha \in E[/tex]
> sei [tex]Sp_{U}(\alpha] := \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha) [/tex].
> Sei [tex]F[/tex] der Fixpunktkörper von [tex]U [/tex]. Dann gilt:
>
> (i) [tex]F = \{ Sp_{U}(\alpha) | \alpha \in E \}[/tex].
>
> (ii) [tex]F = K (Sp_{U}(\alpha_{1}),...,Sp_{U}(\alpha_{n}))[/tex].
> Zeigen muss ich ja bei (i) und (ii) jeweils zwei
> Inklusionen... also fangen wir mir (i) an:
>
> (i) [tex]\supseteq[/tex] :
> Zu zeigen ist, dass die Spur bzgl. U von allen [tex]\alpha \in E[/tex]
> gerade im Fixpunktkörper liegt. Hierfür muss ich also
> zeigen, dass die Spur eines Elementes [tex]\alpha \in E[/tex] von
> einem Automorphismus aus [tex]U[/tex] fix gelassen wird.
>
> Seien nun [tex]\mu \in U , \alpha \in E[/tex] so gilt:
> [tex]\mu Sp_{U}(\alpha)[/tex][tex] = \mu \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha)[/tex][tex] =* \summe_{\sigma \in U} \mu \sigma(\alpha)[/tex][tex] =** \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha)[/tex][tex] = Sp_{U}(\alpha) [/tex].
>
> Dies scheint mir persönlich recht einleuchtend.
> Basiselemente des K-Vektorraums E werden durch die
> Autormorphismen aus U wieder auf Basiselemente abgebildet.
> Wegen der Summenschreibweise darf ich das [mm]\mu[/mm] deswegen bei
> =* in die Summe hineinziehen.
Die Aussage stimmt zwar, die Begruendung allerdings nicht. Der Grund ist, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Automorphismus und damit insbesondere ein Homomorphismus, also linear ist.
> Die Summe über alle [tex]\sigma[/tex]
> angewendet auf ein [tex]\alpha[/tex] durchläuft jedes [tex]\sigma \in U[/tex]
> exakt ein Mal. Da aber auch [tex]\mu \in U[/tex] verändert sich durch
> das [tex]\mu[/tex] lediglich die Reihenfolge, in der die Abbildungen
> auf [tex]\alpha[/tex] angewendet werden. Deswegen ist die Umformung
> bei =** legitim. (Hierbei ist natürlich die Endlichkeit der
> Erweiterung ausschlaggebend).
Die Endlichkeit brauchst du hier nicht: die Aussage ist einfach, dass die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : U [mm] \to [/mm] U$, [mm] $\sigma \mapsto \mu \sigma$ [/mm] bijektiv ist. Und das ist sie, weil $U$ eine Gruppe ist, man also mit [mm] $\mu^{-1}$ [/mm] multiplizieren kann.
> (i) [tex]\subseteq[/tex] :
> Bei diesem Schritt tu ich mich schon etwas schwerer.
> Zeigen muss ich: Wenn ich ein [tex]a \in F[/tex] hernehme, dann ist
> dieses [tex]a[/tex] die Spur eines geeigneten [tex]\beta \in E [/tex].
> Ich habe
> mal versucht, mir ein solches [tex]\beta[/tex] zu basteln. Heraus kam
> - durch Probieren:
> [tex]\beta = \bruch{a}{Sp_{U}(\alpha)} \alpha[/tex]. Denn wenn ich
Was ist [mm] $\alpha$? [/mm] Und wieso ist [mm] $Sp_U(\alpha) \neq [/mm] 0$? Ah, hab grad weitergelesen, das kommt ja noch :)
> die Spur bzgl. U auf dieses Elemente anwende erhalte ich
> gerade:
>
> [tex]Sp_{U} (\bruch{a}{Sp_{U}(\alpha)} \alpha) =* \bruch{a}{Sp_{U}(\alpha)} Sp_{U}(\alpha) = a[/tex]
>
> Bei =* gilt das, was ich oben bereits gezeigt habe: Die
> Spur von [tex]\alpha[/tex] liegt ja im Fixpunktkörper [tex]F [/tex]. Wenn ich
> mich nicht total irre, ist die Struktur meines [tex]\beta[/tex] auch
> in Ordnung - allerdings muss ich dafür garantieren, dass es
> ein [tex]\alpha \in E[/tex] gibt mit [tex]Sp_{U}(\alpha} \not= 0 [/tex].
Genau.
> Dass ein
> solches [tex]\alpha[/tex] existiert folgt meiner Meinung nach aus der
> Struktur der gegebenen Basis. Denn würde gelten
> [tex]Sp_{U}(\alpha) = \summe_{\sigma \in U} \sigma(\alpha) \forall \alpha \in U [/tex],
...und das ist wieder gleich [mm] $\summe_{\sigma \in U} \sigma$, [/mm] also die Spur der Identitaet. Was aber nicht weiter ueberrascht, das ist immer so.
> dann wären die Elemente aus [tex]U[/tex] linear abhängig über [tex]E [/tex], was
> der vorgegeben Struktur (also der Mächtigkeit der
> Galois-Gruppe) widerspräche.
Wenn die $U$-Spur von allen [mm] $\alpha \in [/mm] E$ 0 ist, dann sind die [mm] $\sigma_i$ [/mm] tatsaechlich linear abhaengig (sogar ueber $K$). Irgendwo in der Vorlesung habt ihr sicher gezeigt, dass dies nicht der Fall sein kann.
> (ii) [tex]\supseteq[/tex] :
> Diese Richtung scheint mir einfacher - zumindest, wenn ich
> obiges benutzen kann.
Sie ist sogar sehr einfach: die [mm] $Sp_U(\alpha_i)$ [/mm] liegen alle in $F$ und $K$ ebenfalls, womit [mm] $F(Sp_U(\alpha_1), \dots, Sp_U(\alpha_n))$ [/mm] in $F$ liegt.
> Der Fixpunktkörper von [tex]U[/tex] enthält per
> Definition ja all jene Elemente, die von Automorphismen aus
> [tex]U[/tex] festgelassen werden. Elemente [tex]\delta[/tex] aus K
> [mm](Sp_{U}(\alpha_{1}),...,Sp_{U}(\alpha_{n}))[/mm] haben etwa die
> Form: [tex]\delta = a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n})[/tex]
> mit [tex]a_{i} \in K[/tex] (K ist ja der Skalarenkörper).
Nein, das stimmt nicht: sie sind von der Form [mm] $f(Sp_U(\alpha_1), \dots, Sp_U(\alpha_n))$, [/mm] wobei $f [mm] \in K[x_1, \dots, x_n]$ [/mm] ein Polynom mit Koeffizienten in $K$ in $n$ Unbestimmten ist.
> Wenn ich nun
> - analog zum ersten Teil - wieder ein [tex]\mu \in U[/tex] hernehme
> und aus dieses [tex]\delta[/tex] anwende, erhalte ich:
>
> [tex]\mu (\delta)[/tex][tex] = \mu (a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n}))[/tex][tex] =* \mu (a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1})) + ... + \mu (a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n}))[/tex][tex] =** a_{1} \mu (Sp_{U}(\alpha_{1})) + ... + a_{n} \mu (Sp_{U}(\alpha_{n}))[/tex][tex] =*** a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n})[/tex].
>
> Bei =* nutze ich die Linearität des bijektiven
> Automorphismus [tex]\mu[/tex] aus, ebenfalls bei =**, wobei hier
> hinzukommt, dass die Automorphismen aus [tex]U[/tex] Elemente aus dem
> Skalarenkörper [tex]K[/tex] ohnehin auf sich selbst abbilden. Bei =***
> greift das gleiche Argument wie bei "(i) [tex]\supseteq [/tex]" - ich
> kann [tex]\mu[/tex] in die Summe hineinziehen und verändere damit
> lediglich die Reihenfolge, in der die Automorphismen auf
> das jeweilige [tex]\alpha[/tex] wirken.
Da [mm] $\mu$ [/mm] ein Automorphismus ist, gilt [mm] $\mu(f(Sp_U(\alpha_1), \dots, Sp_U(\alpha_n))) [/mm] = [mm] f(\mu(Sp_U(\alpha_1)), \dots, \mu(Sp_U(\alpha_n))) [/mm] = [mm] f(Sp_U(\alpha_1), \dots, Sp_U(\alpha_n))$, [/mm] da die [mm] $Sp_U(\alpha_i)$ [/mm] insb. [mm] $\mu$-invariant [/mm] sind.
> (ii) [tex]\subseteq[/tex] :
> Auch hierbei kann ich (i) benutzen, genauer gesagt "(i)
> [tex]\subseteq [/tex]". Ich weiß, dass jedes [tex]a \in F[/tex] die Spur eines
> [tex [mm]\alpha \in[/mm] E[/tex] ist. Per Definition lässt sich dieses
> [tex]\alpha[/tex] nun als Linearkombination der Basiselemente von E
> über K ausdrücken, also:
> [tex]\alpha = a_{1} \alpha_{1} + ... + a_{n} \alpha_{n}[/tex] mit
> [tex]a_{i} \in K [/tex]. Dann folgt: [tex]a = Sp_{U}(\alpha)[/tex][tex] = Sp_{U}(a_{1} \alpha_{1} + ... + a_{n} \alpha_{n})[/tex][tex] =* a_{1} Sp_{U}(\alpha_{1}) + ... + a_{n} Sp_{U}(\alpha_{n}) [/tex].
>
> Bei =* wird wie oben die Linearität benutzt.
Genau, hier geht das so.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 15.07.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé Felix,
erstmal: ein riesiges Dankeschön für die sehr aufwendige und detailsreiche Antwort. Das bringt mich verständnistechnisch echt weiter. *freu*
Beim Durchlesen haben sich noch ein Paar kleine Rückfragen ergeben, die ich einfach mal stelle:
(i) Bei der Frage der linearen Abhängigkeit: Mein Skript ist derweil leider zerfasert, so dass ich nicht mehr nachschlagen kann, wie wir das begründet haben, dass die [tex] \sigma_{i} [/tex] linear abhängig sind. Das Argument was an dieser Stelle greift ist mir irgendwie unschlüssig. Verletzt die lineare Abhängigkeit der [tex] \sigma_{i} [/tex] die Gruppeneigenschaft die für [tex] U [/tex] eingefordert wird?
(ii) zu "(ii) [tex] \supseteq [/tex]" : Ja, das ist in der Tat einfacher... allerdings meinst du wahrscheinlich dass aus [tex] Sp_{U}(\alpha_{i}) \subseteq F [/tex] und [tex] K \subseteq F [/tex] auch [tex]K(Sp_{U}(\alpha_{i})) \forall i \subseteq F[/tex] (also die Linearkombinationen von den adjungierten Spuren mit den Skalaren aus [tex] K [/tex]), oder?
Sind meine Inklusionszeichen eigentlich richtig verwendet?
(iii) Im Augenblick bin ich am Überlegen, ob dein Hinweis zu "(ii) [tex] \supseteq [/tex]" nicht vollkommen ausreicht - ich find's in der Mathematik immer kürzer besser; vor allem, wenn meine langen Ausführungen auch noch falsch sind. Dennoch fand ich die Antworten zu meinen Ausführungen mehr als nützlich, da ich offenbar von einer völlig falschen Gestalt der Elemente aus [tex] K [mm] (SP_{U}(\alpha_{1}),...SP_{U}(\alpha_{n}))
[/mm]
Ich nehme an, dass die [tex] f \in K\[x_{1},...,x_{n}\] [/tex] nichts "böses" anstellen rührt von der Tatsache her, dass die Körperweiterung E:K galois'sch ist?
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich da wohl noch ein wenig hinsetzen muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Di 17.07.2007 | | Autor: | felixf |
Sali Lary
> erstmal: ein riesiges Dankeschön für die sehr aufwendige
> und detailsreiche Antwort. Das bringt mich
> verständnistechnisch echt weiter. *freu*
Schoen :)
> (i) Bei der Frage der linearen Abhängigkeit: Mein Skript
> ist derweil leider zerfasert, so dass ich nicht mehr
> nachschlagen kann, wie wir das begründet haben, dass die
> [tex]\sigma_{i}[/tex] linear abhängig sind. Das Argument was an dieser
> Stelle greift ist mir irgendwie unschlüssig. Verletzt die
> lineare Abhängigkeit der [tex]\sigma_{i}[/tex] die Gruppeneigenschaft
> die für [tex]U[/tex] eingefordert wird?
Da muss ich auch erstmal nachschauen :)
Also ohne Einschraenkung kannst du ja gleich annehmen, dass $F = E$ ist, also das du $n$ Automorphismen hast. Das Ziel ist zu zeigen, dass du dann eine lineare Abhaengigkeit der [mm] $\alpha_i$ [/mm] mit Koeffizienten aus $K$ finden kannst.
Betrachte die Matrix $A := [mm] \pmat{ \sigma_1(\alpha_1) & \cdos & \sigma_n(\alpha_1) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_1(\alpha_n) & \cdots & \sigma_n(\alpha_n) }$. [/mm] Wenn die [mm] $\sigma_i$ [/mm] linear abhaengig sind, dann ist der Rang (gesehen ueber dem Koerper $E$!) der Matrix $< n$. Da der Zeilen- gleich dem Spaltenrang ist, gibt es somit eine nicht-triviale Linearkombination der 0 aus den Spalten mit Koeffizienten aus $E$. Nimm eine solche mit der minimalen Anzahl Koeffizienten [mm] $\neq [/mm] 0$. Ziel ist jetzt zu zeigen, dass die Koeffizienten bereits aus $K$ sind. Dazu reicht es ja zu zeigen, dass die Koeffizienten unter Automorphismen invariant sind. Ohne Einschraenkung ist einer der Koeffizienten 1.
Anwenden eines AutoM [mm] $\sigma$ [/mm] auf die Matrix liefert eine Permutationsmatrix $P$ mit [mm] $\sigma(A) [/mm] = A P$, da die Zeilen permutiert werden. Wenn du jetzt [mm] $\sigma$ [/mm] auf die Linearkombination loslaesst, bekommst du also [mm] $\sigma$ [/mm] angewendet auf die Koeffizienten und [mm] $a^{(i)} [/mm] P$ anstelle [mm] $a^{(i)}$, [/mm] wobei [mm] $a^{(i)}$ [/mm] die $i$-te Zeile ist. Das $P$ kannst du wegkuerzen (da invertierbar); damit erhaelst du eine Linearkombination mit mind. einer Null als Koeffizient mehr (da [mm] $\sigma(1) [/mm] = 1$ ist). Deswegen jedoch muessen schon alle Koeffizienten von der neuen LK 0 sein, womit alle Koeffizienten der alten LK [mm] $\sigma$-invariant [/mm] sind.
Da [mm] $\sigma$ [/mm] beliebig war folgt, dass es eine $K$-Linearkombination war: aber daraus folgt, dass [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ [/mm] ueber $K$ linear abhaengig sind (schreib die LK hin und zieh die Koeffizienten in die Automorphismen rein; das geht ja, da diese $K$ festhalten). Das ist aber ein Widerspruch.
Das geht jetzt sicher noch einfacher, hab aber grad keine Zeit drueber nachzudenken... :)
> (ii) zu "(ii) [tex]\supseteq [/tex]" : Ja, das ist in der Tat
> einfacher... allerdings meinst du wahrscheinlich dass aus
> [tex]Sp_{U}(\alpha_{i}) {\red\in} F[/tex] und [tex]K \subseteq F[/tex] auch
> [tex]K(Sp_{U}(\alpha_{i})) \forall i \subseteq F[/tex]
Genau!
> (also die
> Linearkombinationen von den adjungierten Spuren mit den
> Skalaren aus [tex]K [/tex]), oder?
Das sind nicht nur Linearkombinationen! (Also im Endeffekt schon, nur gilt das nicht allgemein bei Adjunktion von Elementen zu einem Koerper!)
> Sind meine Inklusionszeichen eigentlich richtig
> verwendet?
Ich denke schon, mir ist zumindest nichts aufgefallen :)
> (iii) Im Augenblick bin ich am Überlegen, ob dein Hinweis
> zu "(ii) [tex]\supseteq [/tex]" nicht vollkommen ausreicht - ich
> find's in der Mathematik immer kürzer besser; vor allem,
> wenn meine langen Ausführungen auch noch falsch sind.
Ja, ich auch :)
> Dennoch fand ich die Antworten zu meinen Ausführungen mehr
> als nützlich, da ich offenbar von einer völlig falschen
> Gestalt der Elemente aus [tex]K [mm](SP_{U}(\alpha_{1}),...SP_{U}(\alpha_{n}))[/mm]
> Ich nehme an, dass die [tex]f \in K\[x_{1},...,x_{n}\][/tex] nichts "böses" anstellen rührt von der Tatsache her, dass die Körperweiterung E:K galois'sch ist?
Nein, das gilt allgemein fuer Koerpererweiterungen: ist $f$ ein Polynom mit Koeffizienten im Grundkoerper, so kannst du Automorphismen, die den Grundkoerper festhalten, durchziehen. Liegt im Endeffekt daran, dass die Polynome nur die Addition und Multiplikation brauchen, und Automorphismen bzgl. diesen Operationen linear sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Mi 18.07.2007 | | Autor: | laryllan |
Der Betreff sagt es auch schon: Dank dir vielmals, Felix :)
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich das jetzt nochmal alles globall zu Gemüte führt
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