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| Aufgabe | Sei q prim: Zeige:
[mm] |E_{a,0}(\IZ_{q}^{*})| [/mm] = q +1 für q = 3 mod 4, a [mm] \varepsilon \IZ_{q}^{*} [/mm] |
Da ich Krankheitsbedingt drei Wochen der Vorlesung verpasst habe, habe ich keine Wirkliche Idee zu der Aufgabe und wäre sehr dankbar für einen Hinweis zur Herangehensweise.
Das +1 von q+1 wird wohl vom "Punkt im Unendlichen" kommen, der ja ein Element der elliptischen Kurve ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Überlege dir, was $q [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \mod [/mm] 4$ für $-1$ als quadratischer Rest bedeutet. Überlege dir anschließend, was passiert, wenn $(x,y)$ und $(-x,y')$ beides Punkte der Kurve wären.
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Im Skript steht, für q = 3 mod 4 gilt -1 ist kein quadratischer Rest, weil (q-1)/2 ungerade ist. Ich bin mir aber nicht sicher warum das gilt.
Okay ich habe mir das ganze nochmal angeschaut:
-1 ist kein quadratischer Rest mod q, denn
[mm] x^{2} \equiv [/mm] -1 , dann ist 1 [mm] \equiv x^{q-1} \equiv (x^{2})^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{ungerade} [/mm] = -1 (Widerspruch)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Fr 13.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Im Skript steht, für q = 3 mod 4 gilt -1 ist kein
> quadratischer Rest, weil (q-1)/2 ungerade ist. Ich bin mir
> aber nicht sicher warum das gilt.
>
> Okay ich habe mir das ganze nochmal angeschaut:
>
> -1 ist kein quadratischer Rest mod q, denn
>
> [mm]x^{2} \equiv[/mm] -1 , dann ist 1 [mm]\equiv x^{q-1} \equiv (x^{2})^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{ungerade}[/mm]
> = -1 (Widerspruch)
genau.
Die umgekehrte Behauptung gilt uebrigens auch: ist $q [mm] \not\equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{4}$, [/mm] so ist -1 ein quadratischer Rest.
LG Felix
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