Elliptische Kurven < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 So 24.06.2007 | | Autor: | DaSaver |
| Aufgabe | Sei [mm]\IF_{5}[/mm] der Körper mit 5 Elementen. Verifiziere, dass 2 kein Quadrat in [mm]\IF_{5}[/mm] ist, und somit konstruiere den Körper [mm]\IF_{5^5}[/mm] mit 25 Elementen als die durch das Polynom [mm]z^2 -2[/mm] definierte Körpererweiterung von [mm]\IF_{5}[/mm] .
Betrachte die über [mm]\IF_{5^5}[/mm] durch folgende Gleichung defnierte Kurve:
[mm]E\,:\,y^2=x^3+x+2[/mm]
...
F. Finde einen Punkt P in [mm]E(\IF_{5^5})[/mm]\[mm]E(\IF_{5})[/mm] so dass [mm]2P\in E(\IF_{5})[/mm], aber [mm]2P\not=0[/mm] |
Hallo@all!
Bei der oben stehenden Aufgabe habe ich schon in vorhergehenden Aufgabenteilen alle Punkte auf der Kurve bestimmt. Jetzt macht mir diese Teilaufgabe aber große Sorgen. Ich mein, es muss doch einen einfacheren Weg geben so einen Punkt zu finden, als alle Punkte durchzuprobieren, oder?.. Falls mir da jemand einen Tipp geben könnte wäre ich sehr dankbar.
Grüße,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 25.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael!
> Sei [mm]\IF_{5}[/mm] der Körper mit 5 Elementen. Verifiziere, dass 2
> kein Quadrat in [mm]\IF_{5}[/mm] ist, und somit konstruiere den
> Körper [mm]\IF_{5^5}[/mm] mit 25 Elementen als die durch das Polynom
> [mm]z^2 -2[/mm] definierte Körpererweiterung von [mm]\IF_{5}[/mm] .
>
> Betrachte die über [mm]\IF_{5^5}[/mm] durch folgende Gleichung
> defnierte Kurve:
> [mm]E\,:\,y^2=x^3+x+2[/mm]
>
> ...
Wenn du noch hinschreiben wuerdest, was du sonst noch ausgerechnet hast, koennte man dir hier vielleicht besser helfen.
> F. Finde einen Punkt P in [mm]E(\IF_{5^5})[/mm]\[mm]E(\IF_{5})[/mm] so dass
> [mm]2P\in E(\IF_{5})[/mm], aber [mm]2P\not=0[/mm]
> Hallo@all!
>
> Bei der oben stehenden Aufgabe habe ich schon in
> vorhergehenden Aufgabenteilen alle Punkte auf der Kurve
> bestimmt.
Ueber [mm] $\IF_5$ [/mm] sind es 4, und ueber [mm] $\IF_{5^2}$ [/mm] sind es 32. Die Gruppenstruktur ueber [mm] $\IF_5$ [/mm] ist [mm] $\IZ/4\IZ$, [/mm] und die ueber [mm] $\IF_{5^2}$ [/mm] ist [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/16\IZ$.
[/mm]
> Jetzt macht mir diese Teilaufgabe aber große
> Sorgen. Ich mein, es muss doch einen einfacheren Weg geben
> so einen Punkt zu finden, als alle Punkte durchzuprobieren,
> oder?.. Falls mir da jemand einen Tipp geben könnte wäre
> ich sehr dankbar.
Das haengt ganz davon ab, was du schon weisst.
Eine Moeglichkeit ist, die Abbildung ``Multiplikation mit 2'' zu betrachten. Fuer diese hast du explizite Formeln, du kannst also als Bild einen Punkt aus [mm] $E(\IF_5)$ [/mm] nehmen, welches kein Doppeltes in [mm] $E(\IF_5)$ [/mm] ist (da gibt es genau eine Moeglichkeit). Dann hast du zwei (nicht-lineare) Gleichungen, die dir die Koordinaten von Punkten in [mm] $E(\IF_{5^2})$ [/mm] geben, deren Doppeltes dieser Punkt ist. Versuch diese zu loesen.
Ansonsten sieht man mit Hilfe der Gruppenstruktur (falls du diese ausgerechnet hast) folgendes: wenn $P [mm] \in E(\IF_{5^2})$ [/mm] ist, so ist $4 P [mm] \in E(\IF_5)$. [/mm] Also suchst du ein $P [mm] \in E(\IF_{5^2})$ [/mm] mit $2 P [mm] \not\in E(\IF_5)$ [/mm] und $4 P [mm] \neq \mathcal{O}$, [/mm] also so dass die $y$-Koordinate von $2 P$ nicht $0$ ist oder das $2 P$ nicht schon [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] ist.
Du musst also fuer jeden Punkt aus [mm] $E(\IF_{5^2}) \setminus E(\IF_5)$ [/mm] einfach nur das Doppelte ausrechen um zu sehen, ob er die Bedingung erfuellt. Und die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufaellig gewaehlter Punkt das tut, ist $> [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Du brauchst also im Durchschnitt 2 Versuche, also nicht allzu viele...
Aber vielleicht gibt es ja mit den Aufgaben, die du davor geloest hast, noch eine elegantere Moeglichkeit. (Etwa wenn du die Gruppenstruktur hast mit Generatoren, dann ist es wirklich einfach.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Mi 27.06.2007 | | Autor: | DaSaver |
Hallo Felix!
Danke nochmals für die schnelle Antwort. Habe einen Punkt gefunden. Es war der Punkt [mm]P=(2,z)[/mm]. Ich habe eigentlich diese Methode von dir benutzt:
> Ansonsten sieht man mit Hilfe der Gruppenstruktur (falls du
> diese ausgerechnet hast) folgendes: wenn [mm]P \in E(\IF_{5^2})[/mm]
> ist, so ist [mm]4 P \in E(\IF_5)[/mm]. Also suchst du ein [mm]P \in E(\IF_{5^2})[/mm]
> mit [mm]2 P \not\in E(\IF_5)[/mm] und [mm]4 P \neq \mathcal{O}[/mm], also so
> dass die [mm]y[/mm]-Koordinate von [mm]2 P[/mm] nicht [mm]0[/mm] ist oder das [mm]2 P[/mm]
> nicht schon [mm]\mathcal{O}[/mm] ist.
Aber ehrlich gesagt habe ich nicht so ganz verstanden warum [mm]4P \in E(\IF_5) \quad \forall P\in E(\IF_{5^2})[/mm]. Kannst du mir das vlt noch mal genauer erklären?
Grüße,
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Mi 27.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael!
> Danke nochmals für die schnelle Antwort. Habe einen Punkt
> gefunden. Es war der Punkt [mm]P=(2,z)[/mm]. Ich habe eigentlich
> diese Methode von dir benutzt:
>
> > Ansonsten sieht man mit Hilfe der Gruppenstruktur (falls du
> > diese ausgerechnet hast) folgendes: wenn [mm]P \in E(\IF_{5^2})[/mm]
> > ist, so ist [mm]4 P \in E(\IF_5)[/mm]. Also suchst du ein [mm]P \in E(\IF_{5^2})[/mm]
> > mit [mm]2 P \not\in E(\IF_5)[/mm] und [mm]4 P \neq \mathcal{O}[/mm], also so
> > dass die [mm]y[/mm]-Koordinate von [mm]2 P[/mm] nicht [mm]0[/mm] ist oder das [mm]2 P[/mm]
> > nicht schon [mm]\mathcal{O}[/mm] ist.
>
> Aber ehrlich gesagt habe ich nicht so ganz verstanden warum
> [mm]4P \in E(\IF_5) \quad \forall P\in E(\IF_{5^2})[/mm]. Kannst du
> mir das vlt noch mal genauer erklären?
Hmm, das stimmt auch nicht ganz merk ich grad :)
Und zwar kann man sich in [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/16\IZ$ [/mm] die Elemente der Ordnung 4 anschauen: das sind $(0, 4)$, $(1, 4)$, $(1, 12)$ und $(1, 12)$. Die davon erzeugten Untergruppen sind [mm] $\{ (0, 0), (0, 4), (0, 8), (0, 12) \}$ [/mm] und [mm] $\{ (0, 0), (1, 4), (0, 8), (1, 12) \}$. [/mm] (Alle Elemente der Ordnung 2 sind hier enthalten: das sind naemlich nur $(0, 0)$, $(0, 8)$, $(1, 8)$.)
Also muss eine dieser beiden Untergruppen [mm] $E(\IF_5)$ [/mm] entsprechen. Wenn man ein beliebiges Element $(a, b)$ aus [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/16\IZ$ [/mm] mit 4 multipliziert, ist die erste Komponente 0 und die zweite durch 4 teilbar: somit liegt das Element in der von $(0, 4)$ erzeugten Untergruppe.
Dagegen gibt es keinen aehnlichen Trick, um in die Untergruppe zu kommen, die von $(1, 3)$ erzeugt wird.
Das war zumindest die rein gruppentheoretische Ueberlegung, die ich gemacht hatte.
Aaaaallerdings kann man noch anders argumentieren: Es ist ja [mm] $E(\IF_{5^2}) [/mm] = [mm] E(\IF_{5^2})[16]$, [/mm] und der Gruppenhomomorphismus $E[16] [mm] \to [/mm] E[4]$ (der Punkte ueber dem algebraischen Abschluss!), $P [mm] \mapsto [/mm] 4 P$ ist surjektiv und hat Kern $E[4]$.
Insbesondere hat die Einschraenkung auf die [mm] $\IF_{5^2}$-rationalen [/mm] Punkte [mm] $\phi [/mm] : [mm] E(\IF_{5^2})[8] \to E(\IF_{5^2})[4]$, [/mm] $P [mm] \mapsto [/mm] 2 P$ den Kern [mm] $E(\IF_{5^2})[2]$. [/mm] Nun ist [mm] $|E(\IF_{5^2})[4]| [/mm] = 8$ und [mm] $|E(\IF_{5^2})[8]| [/mm] = 16$ und [mm] $|E(\IF_{5^2})[2]| [/mm] = 4$, womit das Bild von [mm] $\phi$ [/mm] genau [mm] $\frac{32}{8} [/mm] = 4$ Elemente umfasst (von 8 moeglichen). Nun kann man sich aber die Verdoppelungsformeln anschauen; daraus folgt, dass das Doppelte eines Punktes in hoechstens einer quadratischen Erweiterung vom Koerper liegt; die Doppelten von Elementen aus [mm] $E(\IF_5)[4] [/mm] = [mm] E(\IF_5)$ [/mm] liegen also in [mm] $E(\IF_{5^2})[8]$. [/mm] Damit liegen die Punkte aus [mm] $E(\IF_5)$ [/mm] also im Bild von [mm] $\phi$, [/mm] womit das Bild von [mm] $\phi$ [/mm] gerade [mm] $E(\IF_5)$ [/mm] ist.
Wenn man jetzt ein Element$P$ aus [mm] $E(\IF_{5^2}) [/mm] = [mm] E(\IF_{5^2})[16]$ [/mm] hat, so ist $2 P [mm] \in E(\IF_{5^2})[8]$, [/mm] und somit $4 P [mm] \in E(\IF_5)$.
[/mm]
So, ich hoff mal da ist jetzt kein Fehler drin gewesen... :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mi 27.06.2007 | | Autor: | DaSaver |
Hi Felix!
Dein Lösungsansatz ist interessant und hat mir auch sehr geholfen. Aber unser Prof hat heute eine ziemlich einfache und zugleich elegante Lösung an die Tafel geschrieben. Dies möchte ich dir natürlich nicht vorenthalten. :)
Und zwar kann man so einen Punkt konstruieren. Zuerst braucht man zwei Punkte P und Q für die gilt:
[mm]P \in E(\IF_{5}), \, ord(P)>2[/mm]
[mm]Q \in E(\IF_{5^2}) \backslash E(\IF_{5}), \, ord(Q)=2[/mm]
Diese Punkte sind leicht zu finden. Dann rechnen wir [mm]R=P+Q[/mm]. Wir wissen, dass [mm]R \in E(\IF_{5^2}) \backslash E(\IF_{5})[/mm]. Und das ist auch schon der Punkt den wir suchen! Denn es gilt:
[mm]2R=2(P+Q)=2P+2Q=2P+\mathcal{O}=2P \in E(\IF_{5})[/mm]
So einfach ist das. Aber da muss man natürlich erstmal drauf kommen... :)
Grüße,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Do 28.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael
> Dein Lösungsansatz ist interessant und hat mir auch sehr
> geholfen. Aber unser Prof hat heute eine ziemlich einfache
> und zugleich elegante Lösung an die Tafel geschrieben. Dies
> möchte ich dir natürlich nicht vorenthalten. :)
>
> Und zwar kann man so einen Punkt konstruieren. Zuerst
> braucht man zwei Punkte P und Q für die gilt:
>
> [mm]P \in E(\IF_{5}), \, ord(P)>2[/mm]
> [mm]Q \in E(\IF_{5^2}) \backslash E(\IF_{5}), \, ord(Q)=2[/mm]
>
> Diese Punkte sind leicht zu finden. Dann rechnen wir [mm]R=P+Q[/mm].
> Wir wissen, dass [mm]R \in E(\IF_{5^2}) \backslash E(\IF_{5})[/mm].
> Und das ist auch schon der Punkt den wir suchen! Denn es
> gilt:
>
> [mm]2R=2(P+Q)=2P+2Q=2P+\mathcal{O}=2P \in E(\IF_{5})[/mm]
>
> So einfach ist das. Aber da muss man natürlich erstmal
> drauf kommen... :)
Oh ja, das ist wirklich ziemlich einfach! Da bin ich auch nicht drauf gekommen... Danke fuer das Posten der Loesung :)
LG Felix
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