Ellipsoid mit Zylinder < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | ell: [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 9y^2 [/mm] = 36 rotiert um x - Achse Zylinder wird koaxial eingeschrieben.
Volumen des Zylinders soll maximal werden |
Als HB hab ich: [mm] y^2*pi*2x [/mm] Wenn ich die NB: y= 2- 2x/3 einsetzte in die HB und gleich 0 setzten komm ich auf eine Quadratische Gleichung mit den Lösungen x1: 3 und x2: 1
So jetzt stellt sich mir die Frage kann ich hier schon irgendwie einen Wert ausschließen? Oder muss ich da dann auch beide y wert ausrechnen und dann das größere Volumen nehmen?!
Also wenn ich dann in die Volumsformel einsetze kommt mit x: 3 und y: 0 auch 0 heraus was ja dann nicht die Lösung sein kann und für x: 1 und y: 1,333333333333 komm ich auf ein Volumen von 11,170....
Kann das stimmen oder hab ich mich da irgendwo verrechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Fr 10.09.2010 | | Autor: | abakus |
> ell: [mm]4x^2[/mm] + [mm]9y^2[/mm] = 36 rotiert um x - Achse Zylinder wird
> koaxial eingeschrieben.
> Volumen des Zylinders soll maximal werden
> Als HB hab ich: [mm]y^2*pi*2x[/mm] Wenn ich die NB: y= 2- 2x/3
Falsch. Die Wurzel aus [mm] (4-\bruch{4}{9}x^2) [/mm] ist nicht 2- 2x/3.
Davon kannst du dich überzeugen, wenn du 2- 2x/3 mit binomischer Formel wieder quadrierst - es entsteht dann NICHT [mm] 4-\bruch{4}{9}x^2.
[/mm]
Allerdings benötigst du in der Formel ja gar kein y, sondern das komplette [mm] y^2=4-\bruch{4}{9}x^2.
[/mm]
Somit wäre [mm] pi*2x*y^2=pi*2x*(4-\bruch{4}{9}x^2), [/mm] was kein quadratischer Term, sondern ein Polynom 3. Grades ist. Erst seine Ableitung ist quadratisch.
Gruß Abakus
> einsetzte in die HB und gleich 0 setzten komm ich auf eine
> Quadratische Gleichung mit den Lösungen x1: 3 und x2: 1
> So jetzt stellt sich mir die Frage kann ich hier schon
> irgendwie einen Wert ausschließen? Oder muss ich da dann
> auch beide y wert ausrechnen und dann das größere Volumen
> nehmen?!
> Also wenn ich dann in die Volumsformel einsetze kommt mit
> x: 3 und y: 0 auch 0 heraus was ja dann nicht die Lösung
> sein kann und für x: 1 und y: 1,333333333333 komm ich auf
> ein Volumen von 11,170....
> Kann das stimmen oder hab ich mich da irgendwo verrechnet?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hoppla ich hab da was vergessen und zwar y= (2-(2x/3))*2x würde das stimmen?
aber ich werde jetzt mal das mit [mm] y^2 [/mm] probieren was du vorgeschlagen hast!
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Hallo Laura_88,
> hoppla ich hab da was vergessen und zwar y= (2-(2x/3))*2x
> würde das stimmen?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> aber ich werde jetzt mal das mit [mm]y^2[/mm] probieren was du
> vorgeschlagen hast!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hab das jetzt mal so gerechnet und hab jetzt für [mm] x^2 [/mm] : 3 und für [mm] y^2: [/mm] 24/9 und für das Volumen bekomm ich 29,02....
kann das stimmen?
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Hallo Laura_88,
> hab das jetzt mal so gerechnet und hab jetzt für [mm]x^2[/mm] : 3
> und für [mm]y^2:[/mm] 24/9 und für das Volumen bekomm ich
> 29,02....
>
> kann das stimmen?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
nun möchte ich noch das Volumen des Ellipsoids haben.
ich nehm die Formel $ [mm] V_y [/mm] \ = \ [mm] \pi\cdot{}\integral_{y_1}^{y_2}{x^2 \ dy} [/mm] $
als Grenzen hab ich -3 und 3 genommen
ich komm auf V= 64 stimmt das?
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Hallo Laura_88,
> nun möchte ich noch das Volumen des Ellipsoids haben.
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> ich nehm die Formel [mm]V_y \ = \ \pi\cdot{}\integral_{y_1}^{y_2}{x^2 \ dy}[/mm]
Die Ellipse rotiert doch um die x-Achse. Daher ist die Formel
[mm]V_x \ = \ \pi\cdot{}\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx}[/mm]
richtig.
>
> als Grenzen hab ich -3 und 3 genommen
Diese Grenzen sind die Grenzen für x.
>
> ich komm auf V= 64 stimmt das?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hab ich das richtig verstanden das die grenzen aber schon stimmen?!
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Hallo, die Grenzen -3 und 3 sind korrekt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
sehr schön!
also ich hab jetzt für das Volumen 13,5 rausbekommen mit der richtigen formel, stimmt das?
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Hallo, leider nein
du hast
[mm] V_x=\pi\integral_{x_1}^{x_2}{y^{2} dx}
[/mm]
[mm] V_x=\pi\integral_{-3}^{3}{4-\bruch{4}{9}x^{2} dx}
[/mm]
die Stammfunktion lautet [mm] 4x-\bruch{4}{27}x^{3} [/mm] setze die Grenzen ein, beachte den Faktor [mm] \pi
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
warte mal fehlt mir jetzt nur das pi oder?
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Hallo Laura_88,
> warte mal fehlt mir jetzt nur das pi oder?
Ausser dem [mm]\pi[/mm] fehlt Dir der richtige Wert des Integrals.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ach bin ich doof ich hatte ja schon das (hoffentlich) richtige Ergebnis nur ohne pi. Hab die Formel nur falsch kopiert und als ich dann die antwort bekommen hab ich natürlich ohne genau zu schauen die andere Variable eingesetzt.
Also müsste das Ergebnis 64pi sein? Mann ich hoffe das stimmt jetzt mal endlich!
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Hallo Laura_88,
> ach bin ich doof ich hatte ja schon das (hoffentlich)
> richtige Ergebnis nur ohne pi. Hab die Formel nur falsch
> kopiert und als ich dann die antwort bekommen hab ich
> natürlich ohne genau zu schauen die andere Variable
> eingesetzt.
>
> Also müsste das Ergebnis 64pi sein? Mann ich hoffe das
> stimmt jetzt mal endlich!
Leider stimmt das immer noch nicht.
Berechne das Volumen
[mm]V_{x}= \pi*\left( \ 4*\left(3\right)-\bruch{4}{27}\left(3\right)^{3} - \left( 4*\left(-3\right)-\bruch{4}{27}\left(-3\right)^{3} \right) \ \right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich glaub ich sollte mal eine Pause machen! als ich das Volumen vorhin mit [mm] x^2 [/mm] ausrechen wollte ist es mir noch aufgefallen das in der Volumsformel mit [mm] y^2 [/mm] ein Vorzeichen vertauscht ist!!!
So ich komm jetzt auf 16 pi!
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Hallo Laura_88,
> ich glaub ich sollte mal eine Pause machen! als ich das
> Volumen vorhin mit [mm]x^2[/mm] ausrechen wollte ist es mir noch
> aufgefallen das in der Volumsformel mit [mm]y^2[/mm] ein Vorzeichen
> vertauscht ist!!!
>
> So ich komm jetzt auf 16 pi!
>
Das stimmt auch.
Gruss
MathePower
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