Ellipse und Taylorentwicklung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:24 So 10.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Forum,
gegeben ist eine Ellipse mit den Halbachsen 1 und a. Der Ellipsenumfang lautet: [mm] \bruch{ x^2}{ a^2}+\bruch{ y^2}{ b^2}=1[/mm], wobei a und b die Halbachsen der Ellipse sind. In unserem Fall lautet also der Umfang:
[mm] \bruch{ x^{2}}{ a^{2}}+\bruch{ y^{2}}{ 1^{2}}=1.
[/mm]
Nun soll man den Ellipsenumfang nehmen und dessen Taylorentwicklung nach
[mm] \mu [/mm] := [mm] a^{2}-1 [/mm] um [mm] \mu=0 [/mm] bis zu beliebiger Ordnung inklusiver Fehlerabschätzung für [mm] \mu \ge [/mm] 0 bestimmen.
Ich weiß nicht, was ich bei der Aufgabe machen soll, und wie man da vor geht.
Danke.
moe07
[bearbeitet von Hathorman]
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Hallo,
die Bogenlänge (hier: Ellipsenumfang) berechnet sich allgemein zu:
[mm]s\; = \;\int\limits_{x_{1} }^{x_{2} } {\sqrt {1\; + \;y'^{2} } \;dx} [/mm]
Nun da es sich hier um eine Ellipse handelt, kann die Bogenlänge einer Vierteleellipse betrachtet werden. Die Bogenlänge der ganzen Ellipse ergibt sich dann zu
[mm]s = \;4\int\limits_{0}^{a} {\sqrt {1\; + \;y'^{2} } \;dx} [/mm]
Nun wird der Integrand in eine Taylorreihe entwickelt. Danach ist diese Tayloreihe zu integrieren.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Di 12.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich versteh leider nicht ganz, wie ich den Intergrand in eine Taylorreihe entwickeln soll. Die Taylorreihe lautet doch so f(y) = f(x) + f'(x) (y-x) + [mm] \bruch{f''(x)}{2}(y-x)^{2}+........+R_{n}.
[/mm]
Der Integrand ist doch hier eine Wurzel. Man kann einfach die Wurzel in die taylorreihe einsetzen?
Danke für die Hilfe .Moe
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Hallo Moe007,
> Der Integrand ist doch hier eine Wurzel. Man kann einfach
> die Wurzel in die taylorreihe einsetzen?
Nein, so einfach ist das nicht.
Jede Funktion läßt sich in eine Taylorreihe entwickeln.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie man diese taylorentwicklung mit der Wurzel macht. ich komm da selbst nicht drauf.
Stimmt das, wenn ich f(y) = [mm] \wurzel{1+ y'^{2}} [/mm] gesetzt habe und davon die Ableitungen bestimmt hab? Aber wie lang soll ich denn ableiten?
danke, Moe 007
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Hallo,
> Stimmt das, wenn ich f(y) = [mm]\wurzel{1+ y'^{2}}[/mm] gesetzt
> habe und davon die Ableitungen bestimmt hab? Aber wie lang
> soll ich denn ableiten?
In der Regel solange bis du ein Bildungsgesetz für den Wert der n-ten Ableitung an der Entwicklungsstelle erkennen kannst.
Gruß
MathePower
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