Ellipse im R^3 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Do 01.08.2013 | | Autor: | algieba |
Hallo
Ich möchte eine Ellipse als Parametergleichung in [mm] $\IR^3$ [/mm] darstellen.
Ich habe als bekannte Werte:
- Ein Normalenvektor der Ellipse
- Den Mittelpunkt der Ellipse
- die Länge der Hauptachse $a$ und die Länge der Nebenachse $b$
Diese Werte würde ich nun gerne in eine Parametergleichung umwandeln. Nach Wikipedia gilt für eine gedrehte Ellipse im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Mittelpunkt [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] und der Drehung [mm] $\alpha$ [/mm] um die x-Achse:
[mm] $\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x_0 + a \cos(t)\cos(\alpha) - b \sin(t)\sin(\alpha) \\ y_0 + a \cos(t)\sin(\alpha) - b \sin(t)\cos(\alpha)}$
[/mm]
Das ist ja schon fast das was ich haben will. Das muss ich jetzt in den [mm] $\IR^3$ [/mm] transferieren. Der erste Schritt ist natürlich den Mittelpunkt als den Mittelpunkt der Ellipse zu wählen. Wie bekomme ich jetzt aber den Winkel zur x-Achse raus? Und ich muss dann ja auch noch eine Drehung zur z-achse einfügen. Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Do 01.08.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> Ich möchte eine Ellipse als Parametergleichung in [mm]\IR^3[/mm]
> darstellen.
> Ich habe als bekannte Werte:
> - Ein Normalenvektor der Ellipse
> - Den Mittelpunkt der Ellipse
> - die Länge der Hauptachse [mm]a[/mm] und die Länge der
> Nebenachse [mm]b[/mm]
Hallo,
damit ist die Ellipsengleichung nicht eindeutig bestimmt.
Wenn du die Gleichung einer solchen Ellipse hättest und dann die Ellipse um den Normalenvektor um 90 Grad rotieren lässt, dann hast du immer noch den gleichen Normalenvektor, den gleichen Mittelpunkt und gleiche Längen der Haupt- und Nebenachsen (die durch die Drehung aber ihre Position getauscht haben).
Gruß Abakus
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> Diese Werte würde ich nun gerne in eine Parametergleichung
> umwandeln. Nach Wikipedia gilt für eine gedrehte Ellipse
> im [mm]\IR^2[/mm] mit Mittelpunkt [mm](x_0, y_0)[/mm] und der Drehung [mm]\alpha[/mm]
> um die x-Achse:
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> [mm]\vektor{x \\ y} = \vektor{x_0 + a \cos(t)\cos(\alpha) - b \sin(t)\sin(\alpha) \\ y_0 + a \cos(t)\sin(\alpha) - b \sin(t)\cos(\alpha)}[/mm]
>
> Das ist ja schon fast das was ich haben will. Das muss ich
> jetzt in den [mm]\IR^3[/mm] transferieren. Der erste Schritt ist
> natürlich den Mittelpunkt als den Mittelpunkt der Ellipse
> zu wählen. Wie bekomme ich jetzt aber den Winkel zur
> x-Achse raus? Und ich muss dann ja auch noch eine Drehung
> zur z-achse einfügen. Kann mir da jemand helfen?
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 02.08.2013 | | Autor: | algieba |
Stimmt, das reicht ja gar nicht. Dann nehmen wir noch einen Vektor dazu, der die Richtung der Hauptachse vom Mittelpunkt gesehen beschreibt. Dann müsste es eindeutig sein.
Wie bekomme ich dann die Parametergleichung hin?
Viele Grüße
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Hallo algieba,
> Stimmt, das reicht ja gar nicht. Dann nehmen wir noch einen
> Vektor dazu, der die Richtung der Hauptachse vom
> Mittelpunkt gesehen beschreibt. Dann müsste es eindeutig
> sein.
>
> Wie bekomme ich dann die Parametergleichung hin?
Ich halte das für unmöglich. Es funktioniert für den Kreis nicht, weshalb sollte es das für die Ellipse tun?
Jede Beschreibung einer solchen Punktmenge im [mm] \IR^3 [/mm] wird wohl auf ein Gleichungsystem hinauslaufen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Fr 02.08.2013 | | Autor: | algieba |
Hallo
> Ich halte das für unmöglich. Es funktioniert für den
> Kreis nicht, weshalb sollte es das für die Ellipse tun?
Dazu habe ich dann eine Verständnisfrage. Mir ist nicht klar, warum es nicht für einen Kreis funktioniert.
Meine Idee:
Die Parameterdarstellung des Einheitskreises ist: [mm] $\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{\cos(t) \\ \sin(t)}$
[/mm]
Das kann man doch in den [mm] $\IR^3$ [/mm] portieren, dann gilt [mm] $\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{\cos(t) \\ \sin(t) \\ 0}$
[/mm]
Jetzt kann man beliebige Drehungen um die Koordinatenachsen durchführen, hier im Beispiel mache ich jetzt mal eine Drehung um die x-Achse um [mm] $\frac{\pi}{4}$. [/mm] Die dazugehörige Drehmatrix lautet
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}}$
[/mm]
also ist der gedrehte Kreis folgendes:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}} \vektor{\cos(t) \\ \sin(t) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{\cos(t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(t)}$
[/mm]
Diesen gedrehten Kreis kann man jetzt noch beliebig verschieben:
$K = [mm] \vektor{x_0 \\ y_0 \\ z_0} [/mm] + [mm] \vektor{\cos(t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(t)}$
[/mm]
Das müsste doch mit jeder beliebigen Drehung funktionieren, und dann bekommt man einen beliebig gedrehten Kreis im Raum. Und einigermaßen analog müsste es doch für die Ellipse klappen, oder?
Irre ich mich bei meiner Argumentation irgendwo? Könnt ihr mir den Fehler zeigen?
Viele Grüße
algieba
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Es sei [mm]\vec{n}[/mm] ein Normalenvektor der Ebene, in der die Ellipse liegt, und [mm]\vec{u}[/mm] ein Vektor, der die Richtung der Hauptachse angibt. Man darf die beiden Vektoren als normiert annehmen:
[mm]\left| \vec{n} \right| = \left| \vec{u} \right| = 1[/mm]
Dann erhält man durch
[mm]\vec{v} = \vec{n} \times \vec{u}[/mm]
einen Einheitsvektor für die Nebenachse der Ellipse. Wenn nun [mm]a,b[/mm] mit [mm]0 < b \leq a[/mm] die Länge von Haupt- und Nebenachse sind und [mm]\vec{m}[/mm] der Ortsvektor des Mittelpunktes [mm]M[/mm] der Ellipse ist, dann ist
[mm]\vec{x} = \vec{m} + \left( a \cdot \cos(t) \right) \cdot \vec{u} + \left( b \cdot \sin(t) \right) \cdot \vec{v} \, , \ \ 0 \leq t \leq 2 \pi[/mm]
eine Parameterdarstellung der Ellipse. Die Vektoren [mm]\vec{x}[/mm] sind Ortsvektoren von Ellipsenpunkten [mm]X[/mm].
Letztlich werden also nur die Einheitsvektoren [mm]\vec{e}, \vec{f}[/mm] für die [mm]x[/mm]- und [mm]y[/mm]-Achse eines zweidimensionalen Koordinatensystems durch die Vektoren [mm]\vec{u}, \vec{v}[/mm] ersetzt und das Ganze an [mm]M[/mm] als neuem Ursprung "aufgehängt".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Fr 02.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo algieba,
Mein obiger Beitrag basierte auf einem Denkfehler (wobei ich ehrlicherweise zugeben muss, dass ich aus privaten Gründen nicht so ganz bei der Sache war...  ).
Entschuldige also bitte meinen Fehler.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Fr 02.08.2013 | | Autor: | algieba |
Hallo Diophant
Kein Problem, jeder kann mal Fehler machen. Und wenn dann noch private Probleme dazukommen, dann ist es nur noch verständlicher. Hoffentlich sind diese Probleme bald wieder vorbei und du kannst wieder wie gewohnt deine sehr gute Arbeit im Forum fortführen. Vielen Dank für alle deine Antworten, die ja wirklich schon sehr zahlreich und fachlich gut sind.
Viele Grüße
algieba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Sa 03.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo algieba,
> Kein Problem, jeder kann mal Fehler machen. Und wenn dann
> noch private Probleme dazukommen, dann ist es nur noch
> verständlicher.
Als Problem würde ich es nicht bezeichnen, sondern als das Gegenteil davon. Daher auch der Smiley, ich setz einfach nochmal einen dazu.
Mehr wird aber nicht verraten...
Gruß, Diophant
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Guten Tag !
Ich würde dir empfehlen, folgendermaßen vorzugehen:
Bestimme zuerst nebst dem (gegebenen) Normalenvektor [mm] \vec{n}
[/mm]
zwei Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] , welche zueinander und zu [mm] \vec{n}
[/mm]
normal stehen. Dabei soll [mm] |\vec{a}|=a [/mm] und [mm] |\vec{b}|=b [/mm] gelten,
und diese Vektoren sollen natürlich die Richtungen der
Halbachsen der Ellipse anzeigen. [mm] \vec{m} [/mm] soll der Ortsvektor
des Ellipsenmittelpunktes sein.
Dann gilt für die Ellipse die Parameterdarstellung:
[mm] $\vec{r}(t)\ [/mm] =\ [mm] \vec{m}+cos(t)*\vec{a}+sin(t)*\vec{b}$
[/mm]
LG
Al-Chwarizmi
Bemerkung:
natürlich entspricht dies im Wesentlichen dem, was
Leopold schon beigetragen hat, nur verwende ich noch die
Bezeichnungen [mm] \vec{a}:=a*\vec{u} [/mm] und [mm] \vec{b}:=b*\vec{v} [/mm] (wobei [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] die
von Leopold vorgeschlagenen Einheitsvektoren sind).
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