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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Do 19.08.2004 | | Autor: | haegar |
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hi mathecracks
Aus bereits ellipsenähnlich angeordneten Punkten (1-n) möchte ich eine Ellipsengleichung [mm]x^2 + ay^2 - b[/mm] finden, die den Punkten am ehesten entspricht, sprich letzlich muss wohl deren Abstand zur 'optimalen' Ellipse minimal sein.
Glaub dass mit einer Abstandsformel alle a und b von 1-n berechnet werden müssen, um dann aus denen Mittelwerte zu bilden, die widerum die gesuchte Gleichung ergeben. Oder? wenn, wie?
Wie ermittelt man dann aus der Gleichung die Wahrscheinlichkeit das die Punkte auf der Ellipse lagen?
Danke für eine Hilfestellung bei diesem oder ein ähnlichem Beispiel - ich weis nämlich nicht genau wie das zu rechnen ist
Paul
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Hallo Paul!
> Aus bereits ellipsenähnlich angeordneten Punkten (1-n)
> möchte ich eine Ellipsengleichung [mm]x^2 + ay^2 - b[/mm] finden,
> die den Punkten am ehesten entspricht, sprich letzlich muss
> wohl deren Abstand zur 'optimalen' Ellipse minimal sein.
>
> Glaub dass mit einer Abstandsformel alle a und b von 1-n
> berechnet werden müssen, um dann aus denen Mittelwerte zu
> bilden, die widerum die gesuchte Gleichung ergeben. Oder?
> wenn, wie?
Das finde ich nicht so gut, schließlich möchtest Du ja gleichzeitig den Abstand aller Punkte zur optimalen Ellipse minimieren.
> Wie ermittelt man dann aus der Gleichung die
> Wahrscheinlichkeit das die Punkte auf der Ellipse lagen?
Diese Wkt. ist auf jeden Fall 0, wenn man davon ausgeht, dass die Punkte zufällig im [mm] $IR^2$ [/mm] liegen können. Dann sind die Koordinaten der Punkte (als Zufallsvariablen) stetig verteilt, und die Wkt., dass eine stetig verteilte Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, ist 0.
Ich schlage folgendes vor:
Du transformierst alle Werte gemäß [mm] $\tilde x_i=x_i^2$ [/mm] und [mm] $\tilde y_i=y_i^2$, [/mm] so dass die Ellipsengleichung übergeht nach:
[mm]\tilde x+a\tilde y-b=0[/mm]
bzw.
[mm]\tilde y=\frac{b}{a} - \frac{1}{a}\tilde x[/mm]
oder schreiben wir besser
[mm]\tilde y=\tilde b + \tilde a\tilde x.[/mm]
Du möchtest nun die Parameter [mm] $\tilde [/mm] b$ und [mm] $\tilde [/mm] a$ so bestimmen, dass
[mm]\sum\limits_{i=1}^n (\tilde y_i-(\tilde b + \tilde a\tilde x_i))^2[/mm]
möglichst klein wird. Das ist das bekannte Problem der linearen Regressionsrechnung (mit der Kleinste-Quadrate-Methode). Die optimale Lösung für [mm] $\tilde [/mm] b$ und [mm] $\tilde [/mm] a$ findest du in fast jedem einführenden Statistik-Buch.
Viel Erfolg!
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Sa 21.08.2004 | | Autor: | haegar |
>Das ist das bekannte Problem der linearen Regressionsrechnung (mit der >Kleinste-Quadrate-Methode). Die optimale Lösung für [mm]\tilde b[/mm] >und [mm]\tilde a[/mm] findest du in fast jedem einführenden Statistik->Buch.
welches ich mir jetzt auszuleihen gedenke, danke für deine Antwort Brigitte
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