Ellipse < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 25.07.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Wir betrachten die Ellispe
[mm] E_{a,b} [/mm] = { [mm] x\in R^2 [/mm] : [mm] \bruch{(x_{1})^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{(x_{2})^2}{b^2} [/mm] =1}
a) Geben Sie eine Kurve [mm] c:[0,2\pi] [/mm] an mit Im(c)={c(t) [mm] :t\in[0,1]} [/mm] = [mm] E_{a,b} [/mm] |
Ich denke die Aufgabe ist relativ leicht, doch leider weiß ich garnicht, wie oder womit ich anfangen soll...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 25.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kennst du die Parameterdarstellung eines Kreises? Dann sollte die der Ellipse ähnlich sein, da ja für a=b ein Kreis rauskommt
welche Funktionen von t kennst du denn deren quadrate addiert 1 ergeben, die nimmst du für x/a und y/b
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mo 25.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Also ich kann ja eine Ellipse zb durch
x= [mm] acos\alpha
[/mm]
[mm] y=bsin\alpha [/mm] darstellen.
Aber ich weiß nicht was ich damit anfangen kann...
und leider weiß ich auch keine Funktionenen deren Quadrate addiert eins ergeben....
Was soll ich denn überhaupt machen?? Eine Funktion aufstellen, in welcher Form??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
du hast die beiden funktionen, deren quadrate eins ergeben gerade selber hingeschrieben: cos(x) und sin(x)
(additionstheorem: [mm] cos^2 [/mm] (x) + [mm] sin^2(x) [/mm] = 1)
jetzt musst du dir aus dem sinus und dem cosinus nur die passende Funktion basteln, die das macht, was du möchtest
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 25.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Aber ich weiß ja nicht was ich will, dass die FUnktion macht..das ist ja mein Problem.. ich weiß garnicht was ich machen soll
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aber ich weiß ja nicht was ich will, dass die FUnktion
> macht..das ist ja mein Problem.. ich weiß garnicht was ich
> machen soll
Du sollst eine Kurve [mm] $c(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/mm] , $t [mm] \in [0,2\pi] [/mm] $, so bestimmen, dass für die Bildmenge von c gilt:
$c([0,2 [mm] \pi]) [/mm] = [mm] E_{a,b}$
[/mm]
mehrfach wirde schon mit einem ganzen Gartenzaun gewunken:
[mm] $x_1(t) [/mm] =a*cos(t), [mm] x_2(t)=b*sin(t)$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mo 25.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Also ich solle eine Funktion mit den Werten x1 und x2 aufstellen, so dass für alle Werte von a und b die Gleichung von [mm] E_{a,b} [/mm] gilt??
Vielen Dank für die Hilfe, bzw. für das Aufstellen der Gleichung, aber ich verstehe halt die Aufgaben stellung nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich solle eine Funktion mit den Werten x1 und x2
> aufstellen, so dass für alle Werte von a und b die
> Gleichung von [mm]E_{a,b}[/mm] gilt??
Quatsch ! a und b sind fest !!!
FRED
>
> Vielen Dank für die Hilfe, bzw. für das Aufstellen der
> Gleichung, aber ich verstehe halt die Aufgaben stellung
> nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mo 25.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Muss ich dann a und b bestimmen?? bzw. bleiben sie einfach als a und b stehen, aber damit wären sie doch beliebig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Muss ich dann a und b bestimmen??
Nein
> bzw. bleiben sie einfach
> als a und b stehen, aber damit wären sie doch beliebig
Versuch mal die Aufgabe zu lösen mit a=2 und b=3.
Dann sehen wir weiter.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 25.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Naja es kommt immer für die Ellipse =1 raus...
nochmal zur Aufgabe:
Ich habe eine Ellipsengleichung gegeben. Nun soll ich eine Funktion aufstellen, was für eine Funktion? Also was zeigt sie mir??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Naja es kommt immer für die Ellipse =1 raus...
Ja, ja, ...
>
> nochmal zur Aufgabe:
> Ich habe eine Ellipsengleichung gegeben. Nun soll ich eine
> Funktion aufstellen, was für eine Funktion? Also was zeigt
> sie mir??
Hab ich doch oben geschrieben:
Du sollst eine Kurve [mm] $c(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/mm] $ , $t [mm] \in [0,2\pi] [/mm] $, so bestimmen, dass für die Bildmenge von c gilt:
$ c([0,2 [mm] \pi]) [/mm] = [mm] E_{a,b} [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 25.07.2011 | | Autor: | sissenge |
ok.. ich denke ich habe es ein bisschen verstanden.. Allerdings finde ich die Formulierung noch ein bisschen schwierig.
Ok.. also ist meine FUnktion c(t)=(acost, bsint)
Denn für diese beiden Werte ist [mm] E_{a,b} [/mm] immer erfüllt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
Um einzusehen, dass diese funktion c(t)=(a*cos(t), b*sin(t)) es tut, musst du dir einfach nur klar machen, was im vektor steht. [mm] x_1 [/mm] = a*cos(t) und [mm] x_2 [/mm] = b*sin(t). jetzt soll [mm] \bruch{x_1^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{x_2^2}{b^2} [/mm] = 1 gelten. jetzt setze es einfach ein und behalte im hinterkopf, dass [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] cos^2(t) [/mm] = 1 ist (additionstheorem). dann siehst du, dass diese gleichung für alle t erfüllt ist. jetzt musst du nur noch drüber nachdenken, ob alle punkte wirklich getroffen wurden. naja, sinus und cosinus sind 2 [mm] \pi [/mm] periodisch, also gilt sin(0)=sin(2 [mm] \pi) [/mm] (cosinus analog)
was bedeutet das für die funktion c(t)=(a*cos(t), b*sin(t))?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mo 25.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast offensichtlich noch nicht kapiert was eigentlich eine Kurve ist.
Eine Kurve bildet ein Intervall oder ganz R in den [mm] R^2 [/mm] oder [mm] R^3 [/mm] ab.
zu jedem Wert t1 des Parameters t, gibt sie den punkt(x(t1),y(t1) an
Wenn du t als Zeit ansiehst weisst du z. bsp wo zu jedem Zeitpunkt ein Punkt ist, der sich auf der Kurve bewegt. es ist also die explizite darstellung des "weges" während die implizite gleichung [mm] x^2/a^2+y^2/b^2=1 [/mm] dir höchstens sagt, wenn du weisst wie weit du in x Richtung bist, wie weit dann in y Richtung.
Auf der Schule behandelt man leider höchstens in Physik kurven, etwa bei der Wurfparabel, in mathe redet man immer von graphen von funktionen, die zwar als bild auch kurven sind, aber eigentlich nur die abbildung der reelen zahlen auf sich veranschaulichen, und nich wirklich ein Stück R nach [mm] R^2 [/mm] abbilden.
Gruss leduart
|
|
|
|
