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| Aufgabe | Beweisen Sie den folgenden Satz über die Reflexionseigenschaft der Ellipse:
Verlässt ein Lichtstrahl einen Brennpunkt der Ellipse und wird er an der Ellipse reflektiert, so geht der reflektierte Strahl durch den anderen Brennpunkt der Ellipse.
Beweisskizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gegeben sei ein Punkt P = [mm] (x_0, y_0) \in [/mm] E.
Die Tangente T durch P an E hat die Gleichung [mm] \bruch{x_0}{a^2}x [/mm] + [mm] \bruch{y_0}{b^2}y [/mm] - 1 = 0.
Jetzt fällen wir die Lote von F und F' auf T und erhalten d = [mm] \bruch{b}{b'}(a [/mm] - [mm] ex_0) [/mm] und [mm] d'=\bruch{b}{b'}(a [/mm] + [mm] ex_0) [/mm] mit b' = [mm] \wurzel{\bruch{{x_0}^2b^2}{a^2}+\bruch{{y_0}^2a^2}{b^2}} [/mm] und e = [mm] \bruch{\wurzel{a^2-b^2}}{a}
[/mm]
Ferne gilt: ||F - P|| = a - [mm] ex_0 [/mm] und ||F' - P|| = a + [mm] ex_0. [/mm] Also sind die Dreiecke [mm] \Delta [/mm] FPQ und [mm] \Delta [/mm] F'PQ' ähnlich. Es folgt [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha'. [/mm] |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe leider absolut keine Idee wie ich hier verfahren soll, obwohl mir eigentlich schon ein Lösungsweg in der Aufgabe gezeigt wird...aber bei der Geometrie klinkt sich bei mir alles aus. Was mich vor allem interessieren würde ist, was sind die Brennpunkte?(Ihr merkt schon: ich weiss weniger als nichts) Wäre für einen kleinen (vllt. auch etwas größeren) Ansatz sehr dankbar, vor allem aber für eine Erklärung was hier überhaupt geschiet. Vielen Dank
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Di 26.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Erweitere in der gegebenen Skizze die Strecken F'P zu einer Gesamtlänge von 2a dann erhältst du den Punkt R
nun ist das Dreieck FPR gleichschenkelig was zeigt, dass die Tangente die Winkelsymmetrale des Winkel FPR ist
analoges mit der Strecke FPR beweist die Behauptung...
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