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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Eliminationsmethode
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Eliminationsmethode: Brauche Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Fr 19.04.2013
Autor: Onkel-Di

Aufgabe
Gegeben ist die Kostenfunktion K(x; y; z) = [mm] 2x^{2} [/mm] - 2xz [mm] +y^{2} +4^{2} [/mm] eines Unternehmens,
das aus drei Inhaltsstoffen X, Y und Z in den in Tonnen gegebenen Mengen x > 0,
y > 0 und z > 0 Tiernahrung herstellt. Gesucht ist eine Kombination der Inhaltsstoffe,
welche die Kosten der Nahrung minimiert. Dabei sollen insgesamt sechzehn Tonnen
produziert werden und es soll die Menge x + z der Inhaltsstoffe X und Z genau zwölf
Tonnen betragen.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Eliminationsmethode die einzusetzenden Mengen x, y und
z der Inhaltsstoffe X, Y und Z. Überprüfen Sie auch die hinreichende Bedingung.

Hallo Mathefreunde,

ich bräuchte zu der obigen Aufgabe einen kleinen Tipp. Und zwar weiß ich, wie ich die Eliminationsmethode bei einer Nebenbedingung anwende, wie verhält sich das aber bei 2 Nebenbedingungen und der hinreichenden Bedingung dann?

Was muss ich hier tun?

Nebenbedingungen habe ich mal herausgelesen: x+y+z=16 und x+z=12 .


Danke für Eure Hilfe!!!

Onkel-Di

        
Bezug
Eliminationsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Fr 19.04.2013
Autor: ullim

Hi,

Du hast zwei Bedingungen

(I)  x+y+z=16 und

(II) x+z=12

sowie die Kostenfunktion, die von x, y und z abhängt.

Aus II ergibt sich das x als Funktion von z dargestellt werden kann. Damit folgt aus I, das y ebenfalls als Funktion von z dargestellt werden kann. Dies in die Kostenfunktion eingesetzt, ergibt eine Kostenfunktion die nur noch von z abhängt. Damit kannst Du z als Minimum bestimmen und danach x und y ausrechnen.

Bezug
                
Bezug
Eliminationsmethode: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Fr 19.04.2013
Autor: Onkel-Di

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort, habe hier mal meine Lösung:

x+z=12 --> x=12-z
in II)  12-z+y+z=16  --> erhalte y=4
Danach habe ich y und x in K(x,y,z) eingesetzt:

[mm] 2*(12-z)^{2} [/mm] - [mm] 2*(12-z)*z+4^{2}+4z^{2} [/mm]

[mm] 288-24z+z^{2}-24z-2z^{2}+16+4z^{2} [/mm]
[mm] =304-48z+3z^{2} [/mm]

1.Ableitung: -6z-48=0 --> z=8

Für x erhalte ich aus 12-8=4;  x=4

Lösungen sind  x=4, y=4 ,z=8


Hab ich das so richtig gemacht??

Danke fürs drübersehen!!!

MfG

Onkel-Di





Bezug
                        
Bezug
Eliminationsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Fr 19.04.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo,

>

> vielen Dank für die schnelle Antwort, habe hier mal meine
> Lösung:

>

> x+z=12 --> x=12-z
> in II) 12-z+y+z=16 --> erhalte y=4

Korrekt.

> Danach habe ich y und x in K(x,y,z) eingesetzt:

>

> [mm]2*(12-z)^{2}[/mm] - [mm]2*(12-z)*z+4^{2}+4z^{2}[/mm]

Korrekt.

>

> [mm]288-24z+z^{2}-24z-2z^{2}+16+4z^{2}[/mm]

Hier hast du einen Vorzeichenfehler

[mm] $2\cdot(12-z)^{2}-2\cdot(12-z)\cdot z+4^{2}+4z^{2}$ [/mm]
[mm] 2\cdot(144-12z+z^{2})-(24-2z)\cdot z+16+4z^{2} [/mm]
[mm] =288-24z+z^{2}-24z\red{+}2z^{2}+16+4z^{2} [/mm]
[mm] =304-48z+6z^{2} [/mm]

> [mm]=304-48z+3z^{2}[/mm]

>

> 1.Ableitung: -6z-48=0 --> z=8

Also:

$K'(z)=-48+12z$

Das führt zu z=4, und da die Parabel [mm] K(x)=304-48z+6z^{2} [/mm] nach oben offen ist, ist z=4 auch die x-Koordinate des Tiefpunktes.

>

> Für x erhalte ich aus 12-8=4; x=4

>

> Lösungen sind x=4, y=4 ,z=8

>
>

> Hab ich das so richtig gemacht??

>

> Danke fürs drübersehen!!!

>

> MfG

>

> Onkel-Di

>

Das Prinzip ist korrekt, du hast nur einen Vorzeichenfehler gehabt.

Marius

Bezug
                                
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Eliminationsmethode: DANKE für Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 Fr 19.04.2013
Autor: Onkel-Di

Danke!!!!!

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