Elfen mit Teig an der Mütze < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mo 26.12.2022 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Elfen sind in der Weihnachtsbäckerei damit beschäftigt, Plätzchen zu backen; das Mehl staubt durch die Küche und der Zuckerguss tropft von den Lebkuchenhäusern. Der Weihnachtsmann kommt in die Backstube und teilt den zehn Backelfen mit: „Mindestens eine von euch hat Teig an der Mütze kleben!“
Die Elfen schauen sich gegenseitig an. Sie können jeweils alle anderen Elfen sehen, aber nicht sich selbst. Da der Weihnachtsmann und die Elfen grundehrliche Wesen sind, sagen sie immer die Wahrheit; und das wissen auch alle übereinander. Außerdem sind die Backelfen logisch hochbegabt und werden mit den ihnen zur Verfügung stehenden Informationen immer blitzschnell die richtigen Überlegungen anstellen.
„Wenn ihr wisst, ob ihr Teig an der Mütze habt, dann tretet einen Schritt nach vorne!“ fährt der Weihnachtsmann fort. Keine der Elfen rührt sich.
„Wenn ihr wisst, ob ihr Teig an der Mütze habt, dann tretet einen Schritt nach vorne!“ wiederholt der Weihnachtsmann Wort für Wort. Wieder bleiben alle Elfen stehen.
Als der Weihnachtsmann sich ein drittes (weiteres) Mal Wort für Wort wiederholt, treten manche, aber nicht alle, Elfen nach vorne.
Bei der vierten (nächten) Wiederholung von „Wenn ihr wisst, ob ihr Teig an der Mütze habt, dann tretet einen Schritt nach vorne!“ treten schließlich alle restlichen Elfen nach vorne.
Seit der Weihnachtsmann in die Backstube gekommen ist, haben die Elfen nicht miteinander geredet oder sonst irgendwelche heimlichen Informationen ausgetauscht.
Wie viele Elfen haben Teig an ihrer Mütze kleben? |
* Ich hoffe, ich habe die Frage im richtigen Forum plaziert! *
Moin Moin,
erstmal: Frohe Weihnachten!!
vielleicht hat jemand Anregungen für die Lösung?!
Meine Überlegungen...
Ich könnte mir eine Zufallsvariable X definieren, mit X: Anzahl der Elfen, die Teig an der Mütze haben.
X [mm] \ge [/mm] 1
Beim ersten Mal tritt keine Elfe hervor, da keine Elfe weiß ob sie Teig an der Mütze hat; da sie sich selbst ja nicht sehen kann.
Beim zweiten Mal, denken sich die Elfen, wenn beim letzten Mal keine Elfen vorgetreten sind, habe ich vermutlich keinen Teig an der Mütze. Also tritt wieder keine Elfe vor.
Beim dritten Mal, denken die Elfen, wenn der Weihnachtsmann nochmal fragt, dann werden vielleicht doch mehrere Elfen Teig an der Mütze haben. Insofern ist es für ein paar Elfen logisch, dass sie jetzt hervortreten.
Beim vierten Mal, da der Weihnachtsmann immer noch fragt, folgern die Elfen, dass noch nicht alle Elfen mit Teig an der Mütze hervorgetreten sind. Und so treten schließlich alle Elfen hervor.
Wieviele Elfen haben Teig an der Mütze?
Für mich sind aber immernoch mehrere Antworten denkbar. Entweder alle 10, da der Weihnachtsmann nicht aufhört zu fragen; oder 1 da die anderen nur denken, dass sie hervortreten müssen.
Bin gespannt auf eure Ideen und Schlussfolgerungen!!
*** Ergänzung ***
Vielleicht spielt es eine Rolle, wie viele Elfen mit Teig an der Mütze (T.a.d.M.), von (jeweils) einer Elfe wahrgenommen werden.
1. Runde
Wenn eine Elfe in der ersten Runde keine andere Elfe mit T.a.d.M. wahrnehmen würde, dann wäre völlig klar, dass nur diese Elfe T.a.d.M. hätte... weil ja der Weihnachtsmann gesagt hat, dass mindestens eine Elfe T.a.d.M. hätte. Dann würde diese Elfe allerdings beim nächsten Mal wissen, dass sie T.a.d.M. hätte, und daher dann beim zweiten Mal hervortreten.
Also müssen es mindestens zwei Elfen sein, die T.a.d.M. haben.
2. Runde
Wenn eine Elfe in der zweiten Runde genau eine Elfe mit T.a.d.M. sieht, weiss sie, dass sie T.a.d.M. hat. Sie würde dann in der dritten Runde hervortreten.
3. Runde
Nun ist eine Elfe (bzw. sind mehrere Elfen) hervorgetreten.
Damit weiß eine Elfe, dass die hervorgetretene Elfe T.a.d.M. hat, und aus den nachfolgenden Betrachtungen herausgelassen werden kann.
Eine Elfe betrachtet nun nur noch die nicht-hervorgetretenen Elfen.
Vielleicht kann man auch folgern, wenn der Weihnachtsmann nochmal fragt, gibt es mindestens eine weitere Elfe mit T.a.d.M.
???
Schließlich würde ich folgern, dass alle Elfen T.a.d.M. haben, da alle vorgetreten sind... und eine Elfe nur dann vortritt, wenn sie weiß, dass sie T.a.d.M. hat, oder?
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Hallo
mir will nicht so recht passen, dass da insgesamt zehn Elfen beteiligt
sein sollen - und nicht elf !
Hätte es auf die Lösung irgendeinen wesentlichen Einfluss, wenn es
passenderweise elf Elfen wären ?
Gutes Jahresende !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mo 26.12.2022 | | Autor: | hase-hh |
Da ich noch dabei bin, mit Eurer Hilfe, die Lösung herauszukriegen... unter Vorbehalt:
Denke nicht, dass es darauf ankommt, ob es 10, 11 oder ein Dutzend Elfen sind, die da backen...
Guten Rutsch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 Di 27.12.2022 | | Autor: | statler |
> Die Elfen sind in der Weihnachtsbäckerei damit
> beschäftigt, Plätzchen zu backen; das Mehl staubt durch
> die Küche und der Zuckerguss tropft von den
> Lebkuchenhäusern. Der Weihnachtsmann kommt in die
> Backstube und teilt den zehn Backelfen mit: „Mindestens
> eine von euch hat Teig an der Mütze kleben!“
>
> Die Elfen schauen sich gegenseitig an. Sie können jeweils
> alle anderen Elfen sehen, aber nicht sich selbst. Da der
> Weihnachtsmann und die Elfen grundehrliche Wesen sind,
> sagen sie immer die Wahrheit; und das wissen auch alle
> übereinander. Außerdem sind die Backelfen logisch
> hochbegabt und werden mit den ihnen zur Verfügung
> stehenden Informationen immer blitzschnell die richtigen
> Überlegungen anstellen.
>
> „Wenn ihr wisst, ob ihr Teig an der Mütze habt, dann
> tretet einen Schritt nach vorne!“ fährt der
> Weihnachtsmann fort. Keine der Elfen rührt sich.
> „Wenn ihr wisst, ob ihr Teig an der Mütze habt,
> dann tretet einen Schritt nach vorne!“ wiederholt der
> Weihnachtsmann Wort für Wort. Wieder bleiben alle Elfen
> stehen.
> Als der Weihnachtsmann sich ein drittes (weiteres) Mal
> Wort für Wort wiederholt, treten manche, aber nicht alle,
> Elfen nach vorne.
> Bei der vierten (nächten) Wiederholung von „Wenn
> ihr wisst, ob ihr Teig an der Mütze habt, dann tretet
> einen Schritt nach vorne!“ treten schließlich alle
> restlichen Elfen nach vorne.
>
> Seit der Weihnachtsmann in die Backstube gekommen ist,
> haben die Elfen nicht miteinander geredet oder sonst
> irgendwelche heimlichen Informationen ausgetauscht.
>
> Wie viele Elfen haben Teig an ihrer Mütze kleben?
>
> Beim ersten Mal tritt keine Elfe hervor, da keine Elfe
> weiß ob sie Teig an der Mütze hat; da sie sich selbst ja
> nicht sehen kann.
Vorsicht! Wenn eine Elfe nur Mützen ohne Teig sähe, würde sie vortreten, da sie selbst dann Teig an der Mütze haben müßte (wegen ... mindestens eine ...). Also sieht jede Elfe mindestens eine Mütze mit Teig.
Soweit erstmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Di 27.12.2022 | | Autor: | hase-hh |
Das stimmt, danke.
Was habe ich bisher herausgefunden...
Wir wissen, dass alle Elfen einander sehen können, nur sich selbst nicht. Daher wissen die Elfen nach der ersten Runde, dass die Anzahl n oder n+1 sein muss.
:
Wenn eine bestimmte Elfe 0 Elfen mit T.a.d.M. sieht, dann weiss diese Elfe, dass sie T.a.d.M. hat und würde in Runde1 hervortreten. Da keine Elfe hervortritt müssen mindestens zwei Elfen T.a.d.M. haben.
Wenn eine bestimmte Elfe 1 Elfe mit T.a.d.M. sieht, dann weiss diese Elfe, dass sie T.a.d.M. hat und würde in Runde1 hervortreten. Da keine Elfe hervortritt müssen mindestens drei Elfen T.a.d.M. haben.
:
Wenn alle Elfen 9 Elfen mit T.a.d.M. sehen, dann weiss keine, ob sie auch T.a.d.M. hat. Wenn aber keine Elfe hervortritt, und eine bestimmte Elfe aber 9 Elfen mit T.a.d.M. wahrnimmt, würde diese in Runde2 hervortreten. Aber es soll ja auch in Runde2 keine Elfe hervortreten. Daraus würde ich folgern, dass n nicht 10 sein kann.
Wenn eine bestimmte Elfe 9 Elfen mit T.a.d.M. sieht, dann weiß sie, dass sie kein T.a.d.M. hat. Sie würde dann in Runde2 vortreten. Also kann n nicht 9 sein.
Zwischenergebnis: n [mm] \in [/mm] [3;8] sein. Richtig?
Kann jemand helfen, wie es dann weitergeht?
Danke & Gruß
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Definition: T steht für Teig an der Mütze. Es wird geschildert, was Elfe A überlegt. Die Überlegungen gelten für den Satz: "Diejenigen, die wissen, DASS sie Teig an der Mütze haben, treten nach vorne."
1. Fall: Elfe A hat T, sonst keine.
A sieht, dass von den anderen niemand T hat, muss also selber T haben und tritt beim ersten Aufruf vor.
Das geschieht nicht. Also ist der 1. Fall falsch.
2. Fall: Elfen A und B haben T, sonst keine.
Elfe A sieht nur T bei Elfe B und weiß nicht, ob sie selber auch T hat. Hätte sie nicht T, sähe Elfe B nirgendwo T und träte beim ersten Aufruf vor. Das geschah aber nicht. Daher weiß A, dass sie selber T hat und tritt beim zweiten Aufruf vor. Das selbe tut B aus Symmetriegründen dann auch.
Das geschieht nicht. Also ist der 2. Fall falsch.
3. Fall: Elfen A, B und C haben T, sonst keine.
Elfe A sieht T nur bei Elfen B und C. Nach oben Gesagtem hätten B und C beim zweiten Aufruf vortreten müssen, haben dies aber nicht getan. Also sehen B und C noch eine weitere Elfe mit T, und das muss A selber sein. Deshalb tritt A nun vor, aus Symmetriegründen auch B und C. Dann treten aber im 4. Aufruf keine Elfen mehr vor.
Da das aber geschieht, ist der 3. Fall falsch.
4. Fall: Elfen A, B , C und D haben T, sonst keine.
Wir sind beim 3. Aufruf. A sieht 3 Elfen mit T. Es ist klar, dass diese bei den ersten beiden Aufrufen nicht vortreten konnten. A weiß, dass 3 oder 4 Elfen T haben. Hätte A selber kein T, würden B, C und D nun gemäß 3. Fall vortreten. Nun ist A in der folgenden Situation:
a) Wenn B, C und D nicht vortreten, weiß A, dass A selber T hat. Dann kann A vortreten. Aus Symmetriegründen können dann auch B, C und D vortreten.
b) Kommen aber B, C und D Elfe A zuvor, gilt aber diese Voraussetzung a) nicht, und A kann nicht vortreten.
Fazit: Wenn A sieht, dass B, C und D nicht vortreten, tritt A vor. Dann können B, C und D eigentlich nicht mehr vortreten.
Beim 4. Aufruf ist dann B, C und D die Situation klar. Da sie nun jeweils 2 Elfen mit T sehen, die anderen Elfen aber jeweils 3 Elfen mit T, ist B, C und D klar, dass sie jeweils T haben, und sie treten beim 4. Aufruf vor.
5. Fall: Bei mehr als 4 Elfen mit T können im 3. Aufruf keine Elfen vortreten.
Ergebnis: 4 Elfen haben T.
Bleibt man bei der Version "Diejenigen, die wissen, OB sie Teig an der Mütze haben, treten nach vorne," ist die Lösung nicht eindeutig:
1. und 2. Fall wie oben.
3. Fall: A, B und C haben T, sonst niemand.
Dann treten, wie oben angegeben, alle 3 beim 3. Aufruf vor. Daraus schließen die anderen, dass sie kein T haben und treten beim 4. Aufruf vor.
4. Fall: A, B, C und D haben T, sonst niemand.
Dann tritt z.B. A beim 3. Aufruf vor, die anderen aber nicht, wie oben geschildert. Danach wissen B, C und D, dass sie auch T haben und die anderen, dass sie es nicht haben, und alle treten beim 4. Aufruf vor.
Also können auf Grund der Angaben sowohl 3 als auch 4 Elfen T haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 28.12.2022 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank für Deine Überlegungen.
Wenn wir mal davon ausgehen, dass im Gegensatz zur ursprünglichen Fragestellung, gemeint ist:
"Eine Elfe weiß, dass sie Teig an der Mütze hat."
Ich verstehe nicht, bei Deinem 5. Fall: "Bei mehr als 4 Elfen mit T können im 3. Aufruf keine Elfen vortreten."
Warum ist das so?
Vielleicht könnte ich noch nachvollziehen, dass wenn eine bestimmte Elfe (A) 9 Elfen mit T.a.d.M. sieht, dann würde man nicht weiterkommen, da man bei jedem Aufruf [also auch beim 3. Aufruf] keine zusätzliche Information bekäme.
Danke & Gruß!
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> Vielen Dank für Deine Überlegungen.
>
> Wenn wir mal davon ausgehen, dass im Gegensatz zur
> ursprünglichen Fragestellung, gemeint ist:
>
> "Eine Elfe weiß, dass sie Teig an der Mütze hat."
>
>
> Ich verstehe nicht, bei Deinem 5. Fall: "Bei mehr als 4
> Elfen mit T können im 3. Aufruf keine Elfen vortreten."
>
> Warum ist das so?
>
> Vielleicht könnte ich noch nachvollziehen, dass wenn eine
> bestimmte Elfe (A) 9 Elfen mit T.a.d.M. sieht, dann würde
> man nicht weiterkommen, da man bei jedem Aufruf [also auch
> beim 3. Aufruf] keine zusätzliche Information bekäme.
>
>
> Danke & Gruß!
>
5 Elfen haben T.
Eine von diesen sieht 4 mit T. Sie weiß nicht, ob es nur 4 gibt (das ist die selbe Situation wie bei nur 4 Elfen mit T aus Sicht einer Elfe ohne T) oder ob sie auch ein T hat. Also wartet sie den 3. Aufruf ab. Wenn dann eine von den anderen 4 mit T vortritt, weiß sie, dass es nur 4 gibt und dass die anderen 3 davon im nächsten Schritt vortreten werden. Sie wartet also im 3. Aufruf ab. Und das tun die anderen 4 von den 5 mit T auch, deshalb tritt im 3. Aufruf niemand vor. (Die anderen ohne T wissen noch weniger und haben erst recht keine Ahnung, ob es neben den 5 zu sehenden sie auch noch erwischt hat.)
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Ich muss meine bisherigen Überlegungen zu "4 Elfen haben T" einschränken.
Ich bin davon ausgegangen, dass dann beim 3. Aufruf die Elfen mit T sich beobachten, so lange keine Vortritt eine davon die Initiative ergreift und die anderen dann stehen bleiben.
Wenn man dieses aber als eine Art Verständigung ansieht oder verlangt, dass die Elfen jeweils auf einen Gongschlag hin vortreten, also die Reaktion der anderen im 3. Aufruf nicht einbeziehen können, dann entfällt die ganze Argumentation für den 3. Aufruf.
Dann haben 3 Elfen T, und die anderen treten alle im 4. Schritt vor, weil sie dann wissen, OB sie T haben oder nicht. Dann ist auch meine Variante, dass nur Elfen vortreten sollen, die wissen, DASS sie T haben, hinfällig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mi 28.12.2022 | | Autor: | meili |
Hallo zusammen,
sollten wir diese Diskussionen nicht erst an Neujahr führen, wenn der Einsendeschluss für den diesjährigen Mathekalender vorbei ist. Denn dies ist die Aufgabe vom 12.12.22.
Einen guten Rutsch und viele Grüße
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mi 28.12.2022 | | Autor: | Eisfisch |
?????? hab wohl was verpasst
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