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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Do 17.11.2005 | | Autor: | Didi |
Die Menge M ist endlich. Für diese Menge M gebe es eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung von der Potenzmenge P(M) in das kartesische Produkt MxM.
Wie viele Elemente hat M?
Ich weiß, dass eine n-elementige Menge [mm] 2^n [/mm] Elemente hat. Wie ist das aber, wenn ich das Produkt von zwei Mengen habe? (Ist das eigentlich das Kreuzprodukt? Muss ich das vorher ausrechnen?)
Als Tipp ist gegeben, dass man die Fragestellung in eine Ungleichung übersetzen kann.
Sicher steht dann auf der einen Seite [mm] 2^n> [/mm] ???. Aber was steht auf der rechten Seite?
Danke schon mal. Ich habe die Frage auf keinen anderen Seiten gestellt.
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> Die Menge M ist endlich. Für diese Menge M gebe es eine
> injektive, aber nicht surjektive Abbildung von der
> Potenzmenge P(M) in das kartesische Produkt MxM.
> Wie viele Elemente hat M?
Hallo und
>
> Ich weiß, dass eine n-elementige Menge [mm]2^n[/mm] Elemente hat.
oh nein, oh nein! Das wäre absurd, bzw. nur in den wenigsten Fallen zutreffend...
Aber Du meinst natürlich das richtige: Wenn |M|=n, ist [mm] |P(M)|=2^n.
[/mm]
Mit dem kartesischen Produkt MxM ist die Menge der Paare gemeint, deren erste und zweite Komponente aus M ist, also MxM={ (a,b) : a,b [mm] \in [/mm] M}
Wie ist also die Mächtigkeit von MxM?
Die Abbildung geht von P(M) [mm] \to [/mm] MxM.
Sie ist injektiv, d.h. In MxM sind mindestens soviele Elemente wie in P(M).
Sie ist nicht surjektiv, also sind in MxM sogar mehr Elemente als in P(M).
> Als Tipp ist gegeben, dass man die Fragestellung in eine
> Ungleichung übersetzen kann.
> Sicher steht dann auf der einen Seite [mm]2^n>[/mm] ???
Es steht da [mm] 2^n[b]<[/b]... [/mm] Was bei den Pünktchen hinkommt, weißt du jetzt, oder?
Wenn ja, hast Du bald ein passendes N gefunden.
Ich habe die große Befürchtung, daß die Aufgabe damit nicht erledigt ist.
Du wirst beweisen müssen, daß für n>N [mm] 2^n \ge n^2 [/mm] ist...
Induktion natürlich.
Gruß v. Angela
. Aber was
> steht auf der rechten Seite?
>
> Danke schon mal. Ich habe die Frage auf keinen anderen
> Seiten gestellt.
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