Element einer Borel-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 So 23.01.2011 | | Autor: | Phileas |
| Aufgabe | Es sei [mm] \lambda_{d } [/mm] das Lebesguemaß auf [mm] \mathcal{B}(\IR^{d}).
[/mm]
Es sei [mm] $E=\{(x,y)\in\IR^{2}:y=0\}$. [/mm] Zeige, dass [mm] $E\in\mathcal{B}(\IR^{2})$ [/mm] mit [mm] $\lambda_{2}(E)=0$. [/mm] |
Hi,
es geht mir nicht um die konkrete Lösung der Aufgabe, den Weg kenne ich.
Trotz dem, dass mir die Lösung vorliegt, ist mir jedoch nicht klar, was man bei einer solchen Aufgabe überhaupt zeigen muss.
Beispiel um zu verdeutlichen, wo mein Problem liegt: Ich soll zeigen, dass etwas eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist. Dann überprüfe ich das Objekt auf beinhalten der leeren Menge, abgeschlossenheit bzgl. des Komplements und abgeschlossenheit bzgl. der Vereinigung (sprich die vorausgesetzten Axiome).
In der vorliegenden Aufgabe wird ein [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] um die x-Achse gelegt, festgestellt, dass E in diesem liegt und schliesslich das Maß von E mit dem Maß des [mm] $\epsilon$-Schlauches [/mm] nach oben abgeschätzt.
Was genau haben wir damit gezeigt (im Sinne von erfüllten Axiomen o.ä.)?
Ich hoffe ich konnte verdeutlichen, was in den Untiefen meines Kopfes voreght :D.
Vielen Dank schonmal!
Gruß,
Phil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\lambda_{d }[/mm] das Lebesguemaß auf
> [mm]\mathcal{B}(\IR^{d}).[/mm]
>
> Es sei [mm]E=\{(x,y)\in\IR^{2}:y=0\}[/mm]. Zeige, dass
> [mm]E\in\mathcal{B}(\IR^{2})[/mm] mit [mm]\lambda_{2}(E)=0[/mm].
> Hi,
>
> es geht mir nicht um die konkrete Lösung der Aufgabe, den
> Weg kenne ich.
> Trotz dem, dass mir die Lösung vorliegt, ist mir jedoch
> nicht klar, was man bei einer solchen Aufgabe überhaupt
> zeigen muss.
>
> Beispiel um zu verdeutlichen, wo mein Problem liegt: Ich
> soll zeigen, dass etwas eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist. Dann
> überprüfe ich das Objekt auf beinhalten der leeren Menge,
> abgeschlossenheit bzgl. des Komplements und
> abgeschlossenheit bzgl. der Vereinigung (sprich die
> vorausgesetzten Axiome).
>
> In der vorliegenden Aufgabe wird ein [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch um
> die x-Achse gelegt, festgestellt, dass E in diesem liegt
> und schliesslich das Maß von E mit dem Maß des
> [mm]\epsilon[/mm]-Schlauches nach oben abgeschätzt.
> Was genau haben wir damit gezeigt (im Sinne von erfüllten
> Axiomen o.ä.)?
Hier sollst Du zeigen, dass E in der Borelschen [mm] \sigma [/mm] - Algebra liegt.
Das geht am einfachsten so: E ist abgeschlossen, also ist das Komplement von E offen. Damit gehört diese Komplement zu $ [mm] \mathcal{B}(\IR^{d}). [/mm] $. Also ist auch E [mm] \in [/mm] $ [mm] \mathcal{B}(\IR^{d}). [/mm] $
Die Sache mit dem [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch solltest Du hier mal reinstellen, dann kann man besser kommentieren.
FRED
>
> Ich hoffe ich konnte verdeutlichen, was in den Untiefen
> meines Kopfes voreght :D.
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> Gruß,
> Phil
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 23.01.2011 | | Autor: | Phileas |
> Hier sollst Du zeigen, dass E in der Borelschen [mm]\sigma[/mm] -
> Algebra liegt.
Genau!
> Das geht am einfachsten so: E ist abgeschlossen, also ist
> das Komplement von E offen.
Soweit noch alles klar.
> Damit gehört diese Komplement
> zu [mm]\mathcal{B}(\IR^{d}). [/mm]. Also ist auch E [mm]\in[/mm]
> [mm]\mathcal{B}(\IR^{d}).[/mm]
Warum ist das so (also dass aus E abgeschlossen und E Komplement offen folgt, dass das Komplement in [mm][mm] \mathcal{B}(\IR^{d}) [/mm] liegt)?
Habe das Skript durchgeschaut, aber nichts dazu gefunden (evt einfach blind).
> Die Sache mit dem [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch solltest Du hier mal
> reinstellen, dann kann man besser kommentieren.
Wie gesagt, was dort passiert ist mir klar. Das wesentliche Unverständnis herrscht im Bezug auf die Motivation des Lösungsweges.
Dein Post hat auf jeden Fall schonmal etwas weitergeholfen, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Hier sollst Du zeigen, dass E in der Borelschen [mm]\sigma[/mm] -
> > Algebra liegt.
>
> Genau!
>
> > Das geht am einfachsten so: E ist abgeschlossen, also ist
> > das Komplement von E offen.
> Soweit noch alles klar.
> > Damit gehört diese Komplement
> > zu [mm]\mathcal{B}(\IR^{d}). [/mm]. Also ist auch E [mm]\in[/mm]
> > [mm]\mathcal{B}(\IR^{d}).[/mm]
>
> Warum ist das so (also dass aus E abgeschlossen und E
> Komplement offen folgt, dass das Komplement in
> [mm][mm]\mathcal{B}(\IR^{d})[/mm] liegt)?
> Habe das Skript durchgeschaut, aber nichts dazu gefunden (evt einfach blind).
Wie habt Ihr denn $ [mm] \mathcal{B}(\IR^{d}) [/mm] $ definiert ?
Und was habt Ihr daraus hergeleitet über weitere Erzeuger von $ [mm] \mathcal{B}(\IR^{d}) [/mm] ?$
FRED
> Die Sache mit dem [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch solltest Du hier mal
> reinstellen, dann kann man besser kommentieren.
> Wie gesagt, was dort passiert ist mir klar. Das wesentliche Unverständnis herrscht im Bezug auf die Motivation des Lösungsweges.
> Dein Post hat auf jeden Fall schonmal etwas weitergeholfen, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 23.01.2011 | | Autor: | Phileas |
>Wie habt Ihr denn [mm]\mathcal{B}(\IR^{d})[/mm] definiert ?
Für [mm] $\IR^{d}$ [/mm] haben wir es nirgends explizit definiert, nur für [mm] $\IR$. [/mm] Und auch diese Definition war nur als "wichtiges Beispiel" deklariert:
Zuerst ein Satz:
Sei [mm] $\mathcal{A}\in\mathcal{P}(\Omega)$, [/mm] dann ist [mm] $\Sigma(\mathcal{A}) [/mm] := [mm] \bigcap_{\mathcal{S } \sigma-algebra, \mathcal{A}\in\mathcal{S}}\mathcal{S}$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma-Algebra$, [/mm] die [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] umfasst.
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Dann kam erwähntes Bsp.:
[mm] $\mathcal{A}=\{(a,b):-\infty
[mm] \Sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] heißt die Borel-Algebra auf [mm] $\IR$. [/mm] Ihre Elemente heissen Borelmengen.
>Und was habt Ihr daraus hergeleitet über weitere Erzeuger von >[mm]\mathcal{B}(\IR^{d}) ?[/mm]
Wir haben das nicht weiter benutzt, zumindest nicht zu diesem Zeitpunkt. Es sollte also für die Aufgabe nicht relevant sein?
Phil
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Huhu,
> Dann kam erwähntes Bsp.:
> [mm]$\mathcal{A}=\{(a,b):-\infty
> [mm]\Sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}(\IR)$[/mm] heißt die
> Borel-Algebra auf [mm]$\IR$.[/mm] Ihre Elemente heissen
> Borelmengen.
Hast du mal versucht das in Worten auszudrücken?
Oder dir klargemacht, welche Grundmenge das da oben eigentlich ist?
> >Und was habt Ihr daraus hergeleitet über weitere Erzeuger
> von >[mm]\mathcal{B}(\IR^{d}) ?[/mm]
>
> Wir haben das nicht weiter benutzt, zumindest nicht zu
> diesem Zeitpunkt. Es sollte also für die Aufgabe nicht
> relevant sein?
Nunja, für dich als Information:
Es gilt ja [mm] $\sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}(\IR)$, [/mm] dann heisst [mm] \mathcal{A} [/mm] Erzeuger von [mm] \mathcal{B}(\IR)
[/mm]
Und allgemein nimmt man als Erzeuger für die [mm] Borel-$\sigma$-Algebra [/mm] die offenen Mengen des Grundraums, und genau das habt ihr oben ja auch getan.
Nunja, und wenn das nun eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, ist auch was drin?
MFG,
Gono.
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