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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 So 12.06.2011 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | Auf einem Ring mit dem Radius a ist die Gesamtladung Q homogen verteilt.
Welche Kraft wirkt auf eine homogene Linienladung, die auf die z-Achse im Bereich 0 <= z <= h angeordnet ist und ebenfalls die Gesamtladung Q hat?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
ich habe eine Frage zu der oben beschriebenen Aufgabe.
Komme leider nicht wirklich damit zurecht :(
Ich fange mal an was ich mir so ausgedacht haben wie es funktionieren könnte (anhand der Mitschrift aus der Vorlesung und Büchern)
Generell gilt ja nach dem Coulombschen Gesetz:
K = E*Q
Für eine Linienladung:
dQ = [mm] q_{L}*ds
[/mm]
E müsste sich doch errechnen mit:
E(a) = [mm] \bruch{1}{4*\pi*\varepsilon}*\integral_{}^{c}{q_{L}(a)* \bruch{R}{R^3}*ez ds}
[/mm]
R (habe ich in der Skizze selbst eingezeichnet) müsste doch sein
R = h*ez - a*ey (??)
ds müsste sweiteren für Zylinderkoordinaten gelten??
Was setze ich denn da ein und wie ist denn das [mm] q_{L} [/mm] (a) zu deuten ?
Bzw. passt das überhaupt so?
Komme echt nicht so ganz klar :-(
Ich hoffe es kann mir einer helfen!
Vielen Dank schonmal!
Gruss
Björn
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 12.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Björn,
die Aufgabe führt zu einem Doppelintegral, um die resultuierende Kraft auszurechnen. Diese zeigt aufgrund der Symmetrie der Anordnung nur in z-Rechnung.
Besonders hierbei ist,dass die Ladung über ein bestimmtes Gebiet, nämlich eine Linie, verteilt ist, nämlich über den Kreisring einmal und das andere Mal über den "Stab" der Höhe h.
Die Ladung Q auf dem Kreisring verteilt sich gleichmäßig und ein Ringelement der Länge [mm] \Delta l [/mm] trägt also die Ladung
[mm] \Delta Q_R = \bruch{\Delta l}{2 \pi a} Q [/mm]
Die Ladung Q auf dem Stab verteilt sich entsprechend
[mm] \Delta Q_S = \bruch{\Delta z}{h} Q [/mm]
Das Verbindende zwischen beiden Teilladungen ist der Abstand R, wie Du ihn genannt hast, in den die Höhe z eingeht. Mit dem Phytagoras bekommst Du
[mm] R^2 = a^2 + z^2 [/mm]
Für die hierbei entstehende Teilkraft hast Du also
[mm] \Delta F = \bruch{\Delta Q_R \cdot \Delta Q_S}{4 \pi \epsilon R^2 [/mm]
Berücksichtigt man nur die Kraftkomponente in z-Richtung, so hilft hier der Strahlensatz weiter:
[mm] \bruch{ \Delta F_z}{\Delta F} = \bruch{z}{R} [/mm] oder
[mm] \Delta F_z = \bruch{z}{R} \Delta F} [/mm]
Dies einmal um den Kreisring herum integriert, ergibt die Kraftkomponente in der Höhe z,
[mm] \Delta F_z = \int_{l=0}^{2 \pi a} \bruch{z}{R} \bruch{1}{4 \pi \epsilon R^2} \bruch{\Delta z}{h} Q \cdot \bruch{Q}{2 \pi a} \, dl [/mm]
und dann musst Du nur noch in z-Richtung alle Anteile aufintegrieren. Der Term [mm] z^2 [/mm] taucht demzufolge dann im nächsten Integral mit der Potenz 3 auf (wegen R hoch 3).
Viel Spaß beim Rechnen,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 12.06.2011 | | Autor: | bjoern.g |
Puh erstmal danke für die Antwort,
so ganz viel hilft mir das allerdings zunächst nicht weiter, denn ich wollte eigentlich versuchen mit unseren Formeln die wir bekommen haben das zu lösen :-(
Was ich jetzt noch gefunden habe:
also prinzipiell waren mit Sicherheit einige Fehler drin:
[mm] R^2 [/mm] = [mm] h^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] sprich R = [mm] (h^2+a^2)^{1/2}
[/mm]
Jetzt hab ich noch herausgefunden das für die Linienladung (Kreisring):
Ez = [mm] \bruch{q_{L}*a}{4\pi\varepsilon}*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch {z}{(a^2+z^2)^(3/2)} d\phi} [/mm] = [mm] \bruch {q_{L}*a*z}{2*\varepsilon*(a^2+z^2)^(3/2)}
[/mm]
Dies gilt allgemein .... kann ich hier jetzt für das z praktisch das h einsetzen? Das müsste doch I.O sein?
Würde das so auch gehen , wie gehts es dann weiter
Nochmals danke für deine hilfe, vll kannst du mir ja nochmal ein Tipp geben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 So 12.06.2011 | | Autor: | chrisno |
Nachdem klar ist, dass aufgrund der Symmetrie nur eine Kraft in z-Richtung entsteht, kann man den Kreisring auf einen Punkt reduzieren. Dann hast Du nur noch eine Linienladung und eine Punktladung. Da musst Du Dir die z-Komponente berechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 So 12.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Wie jemand schon bereits geschrieben hat, kannst du den Kreisring als Punktladung sehen. Der Abstand r von dieser "Ersatz-Punktladung" zu einer bestimmten höhe z ist ja dann
r = [mm] \wurzel{z^{2} + a^{2}}
[/mm]
Also musst du die Einzelnen Kraftbeiträge über z integrieren - und zwar von 0 bis h, wobei der Abstand eben das variable r ist.
Gruss
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