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![[]](/images/popup.gif) Aufgabe
Es wäre echt sehr nett, wenn mir jemand zu dieser Aufgabe eine Hilfestellung geben könnte. Leider komme ich selbst nicht auf eine vernünftige Lösung.
Vielen Dank
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 10.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Zunächst einmal ist das Problem ja kugelsymmetrisch, denn die Kugel ist gleichmäßig geladen. Daher ist das elektrische Potential [mm]\Phi[/mm], das von der Kugel erzeugt wird, auch kugelsymmetrisch, hängt also nur vom Abstand r vom Kugelmittelpunkt ab. Aus [mm]\vec E = - \vec\nabla \Phi[/mm] folgt unittelbar , dass auch die elektrische Feldstärke kugelsymmetrisch ist, nämlich immer in radialer Richtung wirkt (sowohl innerhalb als auch außerhalb der Kugel ist [mm]\vec E[/mm] parallel oder antiparallel zu [mm]\vec r[/mm]).
Damit kennst du die Richtung von [mm]\vec E[/mm], bleibt noch die Berechnung des Betrages. Das geht mit dem Gaußschen Gesetz:
[mm] \oint_A \varepsilon \vec E*d\vec A = Q [/mm]
wobei Q die von der Fläche A eingeschlossene Ladung ist. Hier musst du beachten, dass das [mm]\varepsilon[/mm] unterschiedliche Werte innerhalb und außerhalb der Isolierkugel hat.
Wegen der Kugelsymmetrie nehmen wir die Oberfläche einer Kugel vom Radius r, dann ist der Betrag von [mm]\vec E[/mm] auf der Kugeloberfläche konstant und die Richtung immer senkrecht zu [mm]\vec A[/mm]:
[mm] \oint_A \varepsilon \vec E*d\vec A = 4\pi \varepsilon(r) r^2 |\vec E(r)| [/mm].
Hier ist
[mm]\varepsilon(r) = \begin{cases} 2\varepsilon_0, & r\le R \\ \varepsilon_0, & r> R \end{cases}[/mm]
Bei der Ladung und bei der Dielektrizitätskonstanten muss man unterscheiden, ob die Isolierkugel vollständig innerhalb der Kugel vom Radius r liegt ([mm]R\le r[/mm], oder darüber hinausragt ([mm]R>r[/mm]). Der erste Fall ist einfach: Q ist die Gesamtladung, also ist für [mm]R\le r[/mm]:
[mm]|\vec E(r)| = \bruch{1}{4\pi\varepsilon_0} \bruch{Q}{R^2}[/mm]
Für [mm]R>r[/mm] trägt nur die Ladung innerhalb der Kugel vom Radius r bei. Probier doch, das selbst auszurechnen!
Viele Grüße
Rainer
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