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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:17 Mo 07.10.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Consider the case of a stone dropped from the height h. Denote by r the distance of the stone from the surface. The initial condition reads r(0)=h, r' (0)=0. The equation of motion reads
r'' = - [mm] \frac{\gamma M}{(R+r)^2} [/mm] (exact model)
respectively
r'' = -g (approximate model)
where g = [mm] \gamma [/mm] M / [mm] R^2 [/mm] and R,M are the redius, mass of the earth.
(i) Transform both equations into a first-order system.
(ii) Compute the solution to the approcimate system corresponding to the given initial condition. Compute the time it takes for the stone to hit the surface(r=0)
(iii) Assume that the exact equation also a a unique solution corresponding to the given initial condition. What can you say about the time it takes for the stone to hit the surface in comparison to the approximate model.Will it be longer or shorter? Estimate the difference between the solutions. ( Hints: You should not compute the solution to the exact equation! Look at minimum, maximum of the force) |
Hallo
(i)
r'(t)= v(t)
v'(t)= -g bzw. v'(t) =- [mm] \frac{\gamma M}{(R+r)^2}
[/mm]
(ii)
Gesucht Zeitpunkt [mm] t_s [/mm] sodass [mm] r(t_s)=0 [/mm]
r'(t)= -gt + [mm] C_1
[/mm]
r (t)= -g [mm] \frac{t^2}{2} [/mm] + [mm] C_1 [/mm] * t + [mm] C_2
[/mm]
r(0)=h = -g [mm] \frac{0^2}{2} [/mm] + [mm] C_1 [/mm] * 0 + [mm] C_2= C_2
[/mm]
r'(0)=0= [mm] C_1
[/mm]
=> r(t)= -g [mm] \frac{t^2}{2} [/mm] +h
=> [mm] r(t_s)=0= [/mm] -g [mm] \frac{(t_s)^2}{2} [/mm] +h
[mm] =>\wurzel{\frac{2h}{g}} [/mm] = [mm] t_s
[/mm]
(iii)
v'(t) =- [mm] \frac{\gamma M}{(R+r)^2}
[/mm]
Hier ist das Problem, dass ich nicht integrieren kann, da das r vom t abhängt.
Über die Gravitationskraft hatten wir F(x)= [mm] -\gamma [/mm] m M [mm] \frac{x}{|x|^3} [/mm]
[mm] \gamma, [/mm] M >0
kann mir wer bei Punkt (iii) helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Mo 07.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da steht doch, dass du die Dgl nicht lösen sollst, sondern an Hand des Vergleiches mit der ersten sagen, ob die fallzeit länger oder kürzer ist als bei der vereinfachten Gl. wie du dabei vorgehen sollst steht auch dabei!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:14 Mo 07.10.2013 | | Autor: | quasimo |
Ja, aber wie ist das gemeint mit dem Minimum bzw Maximum der Kraft? Soll ich diese ableiten und Null setzten oder was ist hier von mir verlangt?
> F(x)= $ [mm] -\gamma [/mm] $ m M $ [mm] \frac{x}{|x|^3} [/mm] $
Liebe Grüße
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> Ja, aber wie ist das gemeint mit dem Minimum bzw Maximum
> der Kraft? Soll ich diese ableiten und Null setzten oder
> was ist hier von mir verlangt?
> > F(x)= [mm]-\gamma[/mm] m M [mm]\frac{x}{|x|^3}[/mm]
Hallo quasimo,
beim Näherungsmodell wird ja von einer konstanten
Anziehungskraft (auf eine vorgegebene Masse m)
und von einer konstanten Fallbeschleunigung g ausge-
gangen. Dieses g entspricht (im genaueren Modell)
der Beschleunigung genau für x=R (also auf dem
Erdboden einer ideal kugelförmigen Erde).
Nun fragt sich erstens: ist die Beschleunigung nach
dem "exakten" Modell für x mit $\ [mm] R+h\ge [/mm] x > R$ (also entlang
der beim Fall durchlaufenen Strecke) größer oder
kleiner als bei x=R ? Wie wirkt sich dies auf die
Falldauer aus ?
Um zu einer Schätzung für den Unterschied zu
kommen, würde ich eine einfache Linearisierung
vornehmen und z.B. als erste Näherung für die
"exakte" Lösung mit jenem (wieder als konstant
betrachteten) g* rechnen, das nicht an der Stelle
x=R und auch nicht an der Stelle x=R+h herrscht,
sondern auf halbem Weg dazwischen !
Das wird natürlich nicht exakt, aber für alle
praktischen Fälle aus nicht zu großer Höhe, sagen
wir mal bis 39 km (Ausstiegshöhe von Felix Baumgartner
bei seinem Stratosphärensprung) ganz gut passen.
Dabei vernachläßigen wir allerdings in der Rechnung
den Luftwiderstand, auf den Felix dann für seine
Landung mittels Fallschirm natürlich total ange-
wiesen war ...
Der rechnerische Vergleich der Fallzeiten an diesem
Beispiel (exakte Integration / Erdoberflächen-g /
mittleres g*) würde mich übrigens interessieren !
LG , Al-Chw.
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