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| Aufgabe | Bestimme die Wurzeln der Gleichung:
[mm] \sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k} [/mm] =1
Dabei soll es nur eine begrenzte Anzahl an Werten die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{k} [/mm] ungleich Null sein. |
Hallo Zusammen,
ich habe folgenden charakteristische Gleichung, die sich aus dem einem Lösungsansatz einer homogenen, linearen Differenzengleichung ergibt:
[mm] \sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k} [/mm] =1
Diese Gleichung ist äquivalent zu einer algebraischen Gleichung vom Grad s. Die [mm] p_{k} [/mm] sind Wahrscheinlichkeiten.
Laut Literatur besitzt diese Gleichung zwei positive Wurzeln [mm] \theta_{1}und \theta_{2}. [/mm] Die eine ist [mm] \theta_{1}=1 [/mm] und die andere wird einfach als positives [mm] \theta_{2} [/mm] bezeichnet. Die Existenz der zweiten positiven Wurzel wird dadurch begründet, dass:
y= [mm] \sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k} [/mm]
betrachtet wird. Diese Funktion schneidet die Gerade g=1 an der Stelle [mm] \theta=1 [/mm] und muss aufgrund ihrer Konvexität noch eine weiteren Schnittpunkt mit g=1 haben.
Meine Frage: (1) Woher weiß ich, dass es nur zwei Wurzel existieren, die diese Gleichung erfüllen ? Ich dachte, dass bei einer algebraischen Gleichung vom Grad s, theoretisch s Wurzel diese Gleichung lösen können.
(2) Warum muss die Funktion g noch einmal schneiden ?
Vielen Dank schon einmal, über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen !
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=539744
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Di 22.04.2014 | | Autor: | hippias |
Ohne weitere Voraussetzungen ist die Funktion nicht konvex, noch schneidet sie die Gerade notwendig oefter als einmal. Gegenbeispiele erhaelt man fuer ungerades $s$ und Gleichverteilung (nur ein Schnittpunkt); bei geradem $s$ und Gleichverteilung hat man nur noch $-1$ als Schnittpunkt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Do 24.04.2014 | | Autor: | kBergemann |
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Do 24.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Wurzeln der Gleichung:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k}[/mm] =1
>
> Dabei soll es nur eine begrenzte Anzahl an Werten die
> Wahrscheinlichkeit [mm]p_{k}[/mm] ungleich Null sein.
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe folgenden charakteristische Gleichung, die sich
> aus dem einem Lösungsansatz einer homogenen, linearen
> Differenzengleichung ergibt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k}[/mm] =1
>
> Diese Gleichung ist äquivalent zu einer algebraischen
> Gleichung vom Grad s. Die [mm]p_{k}[/mm] sind Wahrscheinlichkeiten.
>
> Laut Literatur besitzt diese Gleichung zwei positive
> Wurzeln [mm]\theta_{1}und \theta_{2}.[/mm]
Das ist Unfug !
Nehmen wir den Fall s=2. Also betrachten wir
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}(x+x^2).
[/mm]
Es gilt:
f(x)=1 [mm] \gdw [/mm] x=1 oder x=-2.
FRED
> Die eine ist [mm]\theta_{1}=1[/mm]
> und die andere wird einfach als positives [mm]\theta_{2}[/mm]
> bezeichnet. Die Existenz der zweiten positiven Wurzel wird
> dadurch begründet, dass:
>
> y= [mm]\sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k}[/mm]
>
> betrachtet wird. Diese Funktion schneidet die Gerade g=1 an
> der Stelle [mm]\theta=1[/mm] und muss aufgrund ihrer Konvexität
> noch eine weiteren Schnittpunkt mit g=1 haben.
>
> Meine Frage: (1) Woher weiß ich, dass es nur zwei Wurzel
> existieren, die diese Gleichung erfüllen ? Ich dachte,
> dass bei einer algebraischen Gleichung vom Grad s,
> theoretisch s Wurzel diese Gleichung lösen können.
>
> (2) Warum muss die Funktion g noch einmal schneiden ?
>
>
> Vielen Dank schon einmal, über ein paar Tipps würde ich
> mich sehr freuen !
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=539744
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