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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren des dreidimensionalen Raumes, die mit den beiden Vektoren
[mm] \vec{a} = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm] \vec{b} = \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
einen Winkel von 45Grad bilden
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hallo,
komme hier nicht weiter. verstehe das mit den winkeln nicht.
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> Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren des dreidimensionalen
> Raumes, die mit den beiden Vektoren
> [mm]\vec{a} = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec{b} = \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> einen Winkel von 45Grad bilden
>
> hallo,
> komme hier nicht weiter. verstehe das mit den winkeln
> nicht.
Hallo,
Du hast hier zwei Vektoren [mm] \vec{a}und \vec{b}gegeben.
[/mm]
Gesucht sind nun sämtliche Einheitsvektoren [mm] \vec{x}mit [/mm] der Eigenschaft :
Winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] beträgt 45°
UND
Winkel zwischen [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] beträgt 45°.
Bei der Berechnung kannst Du das Skalarprodukt zur Hilfe nehmen.
Gruß v. Angela
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hallo,
nach meiner skizze müsste der winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] 90Grad betragen.
wenn ich meine skizze jetzt mit hilfe des skalarprodukt beweisen möchte, klappt es nicht. da [mm] \vec{a}\* \vec{b}[/mm] null ergiebt. der cos müsste aber doch 1 sein?
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> hallo,
> nach meiner skizze müsste der winkel zwischen [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] 90Grad betragen.
Ja,
denn [mm] \vec{b} [/mm] ist ein Vektor in der yz-Ebene, und [mm] \vec{a} [/mm] ist parallel zur x-Achse.
> wenn ich meine skizze jetzt mit hilfe des skalarprodukt
> beweisen möchte, klappt es nicht. da [mm]\vec{a}\* \vec{b}[/mm]
> null ergiebt. der cos müsste aber doch 1 sein?
[mm] \vec{a}\* \vec{b} [/mm] =0, das ist richtig.
Warum willst Du, daß der cos =1 ist???
Es ist [mm] cos(\angle \vec{a},\vec{b})=0 [/mm] ==> [mm] \angle \vec{a},\vec{b}=90°.
[/mm]
Diesbezüglich is also alles in Ordnung.
Nimm nun einen Vektor [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] mit [mm] 1=x^2+y^2+z^2 [/mm] und schau nach, wie er beschaffen sein muß,
damit [mm] \vec{a}*\vektor{x \\ y\\z}=|\vec{a}|*|\vektor{x \\ y\\z}|*cos45° [/mm]
und
[mm] \vec{b}*\vektor{x \\ y\\z}=|\vec{b}|*|\vektor{x \\ y\\z}|*cos45°.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hallo,
habe da noch eine frage:
zwischen den beiden vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist ein 90Grad winkel. vektor [mm] \vec{a} [/mm] um eine längeneinheit in x-richtung. vektor [mm] \vec{b} [/mm] um eine längeneinheit in y-richtung und eine längeneinheit in z-richtung.
habe jetzt einen würfel gezeichnet, indem beide vektoren liegen. die winkelhalbierende muss doch jetzt die diagonale des würfels sein, also vektor [mm] \vec{x} = \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm].
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Nein, du kannst nicht einfach sagen, dass [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ein gesuchter Vektor ist (selbst wenn, dann hättest du nur einen der unendlich vielen Vektoren, die es zu bestimmen gilt, zumindest nehme ich erstma an, dass es mehr als einer ist)!
Du kannst ja mal den Winkel zwischen [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] ausrechnen, da solltest du auf ca. 54,7° kommen. Im Raum ist das immer etwas tükisch mit den Winkeln, da gehst du lieber so ran, wie von angela beschrieben!
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also ist es nicht der eine vektor zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm].
dann kann es jeder andere vektor sein z.b. [mm] \vec{x} = \vektor{0,7 \\ -0,7 \\ 0}[/mm] u.s.w
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Do 27.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Nein, das kannst du nich einfach so sagen, denke ich mal.
Das mit dem Betrag von 1 stimmt schon (wenn man gutmütig rundet), aber schließt dieser Vektor auch einen Winkel von 45° mit den anderen beiden Vektoren jeweils ein?
Ich erläutere mal angelas Vorgehensweise nochmal etwas genauer.
Ok, wir gehen von einem Vektor x aus.
[mm] \vec{x}=\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Dieser hat den Betrag 1.
[mm] |\vec{x}|=1
[/mm]
(daher kommt auch angelas Gleichung x²+y²+z²=1)
Außerdem schließt er einen Winkel von 45° mit [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ein!
Das heißt, dass wir das Skalarprodukt aus diesen vektoren ranziehen können.
1. Fall:
[mm] \vec{x}*\vec{a}=|\vec{x}|*|\vec{a}|*cos\alpha
[/mm]
[mm] \vec{x}*\vec{a}=1*1*cos45°=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=x=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
2. Fall:
[mm] \vec{x}*\vec{b}=|\vec{x}|*|\vec{b}|*cos\alpha
[/mm]
[mm] \vec{x}*\vec{b}=1*\wurzel{2}*cos45°=1
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=y+z=1
[/mm]
Nun hast du also die Bedingungen:
I [mm] x=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
II y+z=1 [mm] \Rightarrow [/mm] z=1-y
Damit würde deine Menge der Vektoren lauten:
[mm] \vec{x}=\vektor{\wurzel{\bruch{1}{2}} \\ t \\ 1-t} [/mm] (Ich habe y mal in t umbenannt).
Aber leider haben nicht alle Vektoren aus dieser Vektorenschar 8wenn man das so nennen kann) den Betrag 1! Wenn man für t=1000 einsetzt sieht man schon, dass der Betrag von 1 leicht überschritten wird ;)
Deshalb kannst du den Betrag des Vektors bilden und den gleich 1 setzen.
Damit erhälst du für t einen Wert, den du in deinen x-Vektor einsetzen kannst.
(t=0,5)
(Alternativ dazu hättest du zu den 2 Gleichung I und II die Gleichung III x²+y²+z²=1 nehmen können und das Gleichungssystem lösen können)
Ok, am Ende kam dann doch nur ein Vektor raus, aber es hätte auch anders ausgehen können :) (zumindest nehme ich das an!)
Hoffe das war einigermaßen verständlich!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Do 27.12.2007 | | Autor: | tim_tempel |
habe es verstanden. danke an angela und teufel.
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