Einheitsmatrix = A^2 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Welche 2x2 Matrizen erfüllen die Gleichung [mm] A^2=E? [/mm] |
Ich habe das mal so angefangen:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Nach Ausmultiplizieren erhalte ich das hier:
[mm] \pmat{ (a^2+bc) & (ab+bd) \\ (ca+dc) & (cb+d^2) } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Was mich zu folgendem GLS führt:
[mm] a^2+bc [/mm] = 1
ab+bd = 0
ca+dc = 0
[mm] cb+d^2 [/mm] = 1
Das sieht leider komplett anders aus, als die LGS die ich bisher kannte. Kann man das überhaupt ohne Näherungsverfahren lösen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 So 19.04.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Das sieht leider komplett anders aus, als die LGS die ich
> bisher kannte.
Du hast recht, es handelt sich nicht um ein *L*ineares GS.
>Kann man das überhaupt ohne
> Näherungsverfahren lösen?
Ja, zum Beispiel durch $A=E$.
Mathematica findet die folgenden Loesungen:
| 1: |
| | 2: | {{a -> -1, d -> 1, b -> 0},
| | 3: | {a -> -1, d -> 1, c -> 0},
| | 4: | {a -> 1,d -> -1, b -> 0 },
| | 5: | {a -> 1, d -> -1, c -> 0},
| | 6: | {c -> 0, a -> -1, d -> 1},
| | 7: | {c -> 0, a -> 1, d -> -1},
| | 8: | {b -> (1 - d^2)/c, a -> -d},
| | 9: | {a -> -1, d -> -1, b -> 0, c -> 0},
| | 10: | {a -> 1, d -> 1, b -> 0, c -> 0}}
|
Will man das "zu Fuss" loesen, sieht es nach
freudloser Fleissarbeit aus. Hoffe aber, es hilft
dir weiter.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:14 So 19.04.2009 | | Autor: | Blueplanet |
Ja, das hilft auf jeden Fall schonmal weiter, durch die mathematica-Ergebnisse weiß ich jetzt schonmal, dass mein Ansatz nicht so falsch sein kann:
I.-IV. ergibt:
[mm] a^2-d^2=0
[/mm]
Daher gilt entweder a=d oder a=-d
Wenn ich mit a=-d beginne und in die weiteren Gleichungen einsetze, erhalte ich schonmal
(a+d)b=0
->b=beliebig
(a+d)c=0
->c=beliebig
Nur irgendwo haperts da noch, c und d scheinen mir nicht voneinander unabhängig zu sein.
Edit sagt: Könntest du mir verraten, wie man sich so etwas von mathematica berechnen lassen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 So 19.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> Edit sagt: Könntest du mir verraten, wie man sich so etwas
> von mathematica berechnen lassen kann?
Gerne:
| 1: |
| | 2: | Solve[{a^2 + b c == 1, a b + b d == 0, a c + c d == 0, b c + d^2 == 1}, {a, b, c, d}]
|
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 So 19.04.2009 | | Autor: | Blueplanet |
nix Text
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 So 19.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> nix Text
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 So 19.04.2009 | | Autor: | Blueplanet |
In der Überschrift steht schon alles, daher das (kT) = kein Text
|
|
|
| |
|
> Welche 2x2 Matrizen erfüllen die Gleichung [mm]A^2=E?[/mm]
Hallo,
ich weiß nun ja nicht, was so alles dran war bei Dir.
Offensichtlich lösen ja schonmal A=E und A=-E die Gleichung.
Wenn charakteristisches Polynom und die Dinge aus dem Dunstkreis dran waren bei Euch, dann siehst Du, daß Du weiter fahnden mußt nach den Matrizen mit dem charakteristischen Polynom [mm] p(x)=x^2-1=(x-1)(x+1).
[/mm]
Also brauchst Du noch sämtliche Matrizen mit den Eigenwerten -1 und 1, dh. die Matrizen, die ähnlich sind zu [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }.
[/mm]
Somit lösen auch die Matrizen [mm] A=T^{-1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }T [/mm] mit T invertierbar die Gleichung [mm] A^2=E.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 19.04.2009 | | Autor: | Blueplanet |
Na kein Wunder, dass ich mir hier nen Wolf rechne... Das alles haben wir noch gar nicht gehabt, kommt wahrscheinlich nächste Woche dran. Danke für die Hilfe, du hast mich davor bewahrt noch stundenlang in die falsche Richtung zu rechnen 
|
|
|
|
