Einheitskugel, Likelihood.. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Hänge mal wieder an meinen Stochastik-Aufgaben.
Dies sind aber die letzten Aufgaben, die ich jemals noch in Stochastik machen muss!
Dann habe ich den Schein (für Lehrämtler) und werde nie wieder was davon hören.
Brauche allerdings noch ein paar Punkte und darum ein letztes Mal Eure Hilfe:
Aufgabe 1
[mm] (X_{1}^{(n)},...,X_{n+1}^{(n)}) [/mm] sei ein auf der (n+1)-dimensionalen Einheitskugel gleichvert. Zufallsvektor.
Zeige, dass für alle [mm] t\in \IR [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(\wurzel{n} X_{n+1}^{(n)}\le t)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{t} {e^{-\bruch{x^{2}}{2}}dx}.
[/mm]
Aufgabe 2
Einem Produzenten von Elektromotoren ist bekannt, dass deren Lebensdauern einer Rayleigh-Vert. mit der Dichte
[mm] f_{\lambda}(x)=2\lambda xe^{-\lambda x^{2}}, x\ge0, \lambda>0 [/mm] genügen.
Bei einer Kundenbefragung wurde die folg. Lebensdauern (in Jahren) von 8 Motoren ermittelt:
5,6 6,4 4,8 4,2 7,2 8,9 6,0 5,4
a) Berechne den Maximum-Likelihood-Schätzwert für [mm] \lambda.
[/mm]
b) Schätze auf dieser Grundlage die WSK, dass die Ledensdauer eines Motors wenoger als 6 Jahre beträgt.
Zur Aufgabe 1 habe ich bereits folg. Sachverhalte, die man benutzen kann (ohne Beweis):
1.) [mm] \bruch{V_{n}}{\wurzel{n}V_{n+1}}\to \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} [/mm] für [mm] n\to\infty, [/mm] wobei [mm] V_{n} [/mm] das Volumen der Einheitskugel im [mm] \IR^{n}.
[/mm]
2.) [mm] (1-\bruch{x}{n})^{n}\to e^{-x} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] gleichmäßig auf [mm] \IR^{+}.
[/mm]
Ich hoffe, Ihr könnt mir noch ein letztes Mal weiterhelfen!
Wäre Euch echt super dankbar!
MfG
Mario
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Do 10.02.2005 | | Autor: | cathy |
[mm] L(x_{1}, \ldots,x_{n},\lambda)= \produkt_{i=1}^{n}f(x_{i})=\begin{cases} \produkt_{i=1}^{n} 2 \lambda x_{i} exp(-\lambda x_{i}^2) , & \mbox{für } x_{i} \ge 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Die Funktion Maximieren( weißt schon nach [mm] \lambda [/mm] ableiten und null setzen)
Da L maximal g.d.w. ln(L) maximal gilt, maximiere am besten den Logarithmus (geht einfacher)!
Dann müsstest du auf den Schätzer für [mm] \lambda [/mm] kommen:
[mm] \lambda=n/ \summe_{i=1}^{n}x_{i}^2 [/mm] (!bin ich nicht sicher!)
|
|
|
| |
|
Hallo Mario!
Die Fälligkeit ist zwar schon abgelaufen, aber ich hoffe, meine Ideen zu dieser (wie ich finde) ziemlich schweren Aufgabe (vor allem im Vgl. zur Maximum-Likelihood-Aufgabe unten) helfen noch weiter.
> [mm](X_{1}^{(n)},...,X_{n+1}^{(n)})[/mm] sei ein auf der
> (n+1)-dimensionalen Einheitskugel gleichvert.
> Zufallsvektor.
> Zeige, dass für alle [mm]t\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(\wurzel{n} X_{n+1}^{(n)}\le t)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{t} {e^{-\bruch{x^{2}}{2}}dx}.
[/mm]
> Zur Aufgabe 1 habe ich bereits folg. Sachverhalte, die man
> benutzen kann (ohne Beweis):
>
> 1.) [mm]\bruch{V_{n}}{\wurzel{n}V_{n+1}}\to \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}[/mm]
> für [mm]n\to\infty,[/mm] wobei [mm]V_{n}[/mm] das Volumen der Einheitskugel
> im [mm]\IR^{n}.
[/mm]
>
> 2.) [mm](1-\bruch{x}{n})^{n}\to e^{-x}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> gleichmäßig auf [mm]\IR^{+}.
[/mm]
Gleichverteilt auf [mm] $E_{n+1}$ [/mm] (so nenne ich mal die $n+1$-dim. Einheitskugel) bedeutet, dass der o.g. Zufallsvektor die Dichte
[mm]f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{V_{n+1}} & \mbox{falls } ||x||\le 1\\
0&\mbox{sonst}
\end{array}\right.[/mm]
besitzt. Dabei bedeutet $||x||$ die euklidische Norm im [mm] $\IR^{n+1}$, [/mm] also [mm] $||x||=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_{n+1}^2}$. [/mm] Es geht ja um die Wkt. [mm] $P(\wurzel{n} X_{n+1}^{(n)}\le [/mm] t)$ also um
[mm]\int_{A} f(x)\,dx[/mm]
mit [mm] $A=\{x\in\IR^{n+1}:x_{n+1}\le t/\sqrt{n}\}$. [/mm] Dieses Integral kann man unter Berücksichtigung von $f$ aber umschreiben zu
[mm]\int_{B} \frac{1}{V_{n+1}}\,dx[/mm]
mit [mm] $B=\{x\in \IR^{n+1}:x\in E_{n+1} \mbox{ und } x_{n+1}\le t/\sqrt{n}\}=\{x\in\IR^{n+1}:(x_1,\ldots,x_n)\in E_{n}, x_1^2+\ldots+x_n^2\le 1-x_{n+1}^2 \mbox{ und } x_{n+1}\le t/\sqrt{n}\}$. [/mm] Ich teile das zu berechnende Integral nun in ein Doppelintegral auf, wobei das erste nur die n+1-te Komponente betrifft und das zweite über die Menge [mm] $C=\{\tilde x=(x_1,\ldots,x_n)\in E_{n}, x_1^2+\ldots+x_n^2\le 1-x_{n+1}^2 \}$ [/mm] als Teilmenge des [mm] $\IR^n$ [/mm] zu verstehen ist:
[mm]P(\wurzel{n} X_{n+1}^{(n)}\le t)=\int\limits_{-1}^{\min\{1,t/\sqrt{n}\}}\int_C \frac{1}{V_{n+1}} \,d\tilde x dx_{n+1}[/mm]
Die Grenzen des äußeren Integrals ergeben sich durch die "natürliche Grenze" für eine Koordinate der Einheitskugel [mm] ($-1\le x_{n+1}\le [/mm] 1$) und der Berücksichtigung der oberen Grenze, die durch die zu berechnende Wkt. gegeben ist.
Das innere Integral kann man nun berechnen, indem man das Volumen von $C$ bestimmt, da über eine Konstante integriert wird. $C$ ist ein Teil von [mm] $E_n$, [/mm] und zwar eine Kugel um den Ursprung mit Radius [mm] $\sqrt{1-x_{n+1}^2 }$, [/mm] so dass man als Volumen von $C$ gerade [mm] $\left(\sqrt{1-x_{n+1}^2 }\right)^n\cdot V_n=\left(1-x_{n+1}^2 \right)^{n/2}\cdot V_n$ [/mm] erhält. Beim äußeren Integral substituieren wir noch [mm] $u=\sqrt{n}\cdot x_{n+1}$, [/mm] so dass sich
[mm]P(\wurzel{n} X_{n+1}^{(n)}\le t)=\int\limits_{-\sqrt{n}}^{\min\{\sqrt{n},t\}} \frac{(1-\frac{u^2}{n} )^{n/2}V_n}{V_{n+1}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}} du[/mm]
ergibt. Jetzt muss man ja eigentlich nur noch den Grenzwert bilden, aber da sehe ich das Problem, dass $n$ ja auch noch in den Grenzen steckt, und ich gerade nicht genügend Analysis-Kenntnisse besitze, um zu entscheiden, ob man das alles getrennt behandeln darf. Für den Integranden ergibt sich in jedem Fall mit den angegebenen Hilfen
[mm]\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(1-\frac{u^2}{n} )^{n/2}V_n}{V_{n+1}} \cdot\frac{1}{\sqrt{n}}
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}[/mm]
Die beiden Integralgrenzen passen im Grenzwertübergang auch, aber wie gesagt, ich weiß nicht, ob man das so machen darf. Vielleicht kann sich dazu nochmal jemand äußern.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
|
