Einheitskugel, Heine Borel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Di 29.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Im metrischen Raum folgt aus A kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] A beschränkt + abgeschlossen.
Aber i.A. folgt nicht die Rüchrichtung.
Bsp: abg Einheitskugel im unendlichdimensionalen Vektorraum. |
Hallo,
Ich würde gerne verstehe warum das Beispiel ein geieignetes Gegenbeispiel ist!
V... unendlich dimensionaler Vektorraum
[mm] B=\{x \in V: ||x|| \le 1\}
[/mm]
Ich schaue ihn mir am mit der Norm: ||x||:= [mm] \sqrt{\sum_{n=1}^\infty (x_n)^2} [/mm]
1) B beschränkt und abgeschlossen
Da diam(B):= [mm] sup\{||x-y||: x,y \in B\}\le [/mm] 2 folgt B ist beschränkt
Sei [mm] (a_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] eine Folge in B mit Grenzwert a. Angenommen a [mm] \not\in [/mm] B so folgt ||a||>1
d:= ||a||-1 >0
So muss es einen Index geben, sodass für alle größeren Indices n [mm] gilt:||a_n-a|| [/mm] < ||a||-1
Ist das nicht ein Widerspruch zu [mm] ||a_n||\le [/mm] 1? Ich bin mir unsicher.
Vlt. ist es besser wenn man die Funktion f: x [mm] \mapsto [/mm] ||x|| mit f: V [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] anschaut die als Normabbildung ja stetig ist. Also ist das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen: [mm] f^{-1} [/mm] ([-1,1])= B und somit B abgeschlossen
2) B nicht kompakt
Idee wäre Bolzano-Weierstraß zu nutzen. Demnach ist eine Folge von Punkten in B zu finden, die keine konvergente Teilfolge gegen einen Punkt in B hat.
Definiere Folge [mm] (e_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] deren n-tes Folgenglied [mm] e_n= [/mm] (0,0,..,0,1,0,...) an der n-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur 0.
Die Differenz zweier Folgenglieder [mm] ||e_n [/mm] - [mm] e_m [/mm] || = 2 für [mm] n\not=m
[/mm]
Hier grüble ich etwas wie ich am besten zeige dass die Folge keine konvergente Teilfolge besitzt. Mir ist es "praktisch" schon klar, dass ich keine Teilfolge bilden kann die eine Cauchyfolge ist.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Di 29.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Im metrischen Raum folgt aus A kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] A
> beschränkt + abgeschlossen.
> Aber i.A. folgt nicht die Rüchrichtung.
> Bsp: abg Einheitskugel im unendlichdimensionalen
> Vektorraum.
> Hallo,
>
> Ich würde gerne verstehe warum das Beispiel ein
> geieignetes Gegenbeispiel ist!
> V... unendlich dimensionaler Vektorraum
> [mm]B=\{x \in V: ||x|| \le 1\}[/mm]
> Ich schaue ihn mir am mit der
> Norm: ||x||:= [mm]\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (x_n)^2}[/mm]
Es ist also [mm] V=l^2
[/mm]
> 1) B beschränkt und abgeschlossen
>
> Da diam(B):= [mm]sup\{||x-y||: x,y \in B\}\le[/mm] 2 folgt B ist
> beschränkt
O.K.
>
> Sei [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine Folge in B mit Grenzwert a.
> Angenommen a [mm]\not\in[/mm] B so folgt ||a||>1
> d:= ||a||-1 >0
> So muss es einen Index geben, sodass für alle größeren
> Indices n [mm]gilt:||a_n-a||[/mm] < ||a||-1
> Ist das nicht ein Widerspruch zu [mm]||a_n||\le[/mm] 1?
> Ich bin mir unsicher.
Zurecht !
Wenn [mm] a_n \to [/mm] a, so auch [mm] ||a_n|| \to [/mm] ||a||. Ist ||a||>1, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] ||a_n||>1 [/mm] für alle n>N. Damit hätten wir [mm] a_n \notin [/mm] B für alle n>N.
Widerspruch !
>
> Vlt. ist es besser wenn man die Funktion f: x [mm]\mapsto[/mm] ||x||
> mit f: V [mm]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] anschaut die als
> Normabbildung ja stetig ist. Also ist das Urbild jeder
> abgeschlossenen Menge abgeschlossen: [mm]f^{-1}[/mm] ([-1,1])= B und
> somit B abgeschlossen
Ja, das passt.
>
> 2) B nicht kompakt
> Idee wäre Bolzano-Weierstraß zu nutzen.
Gute Idee !
> Demnach ist eine
> Folge von Punkten in B zu finden, die keine konvergente
> Teilfolge gegen einen Punkt in B hat.
So ist es.
> Definiere Folge [mm](e_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] deren n-tes
> Folgenglied [mm]e_n=[/mm] (0,0,..,0,1,0,...) an der n-ten Stelle
> eine 1 hat und sonst nur 0.
> Die Differenz zweier Folgenglieder [mm]||e_n[/mm] - [mm]e_m[/mm] || = 2 für
> [mm]n\not=m[/mm]
> Hier grüble ich etwas wie ich am besten zeige dass die
> Folge keine konvergente Teilfolge besitzt. Mir ist es
> "praktisch" schon klar, dass ich keine Teilfolge bilden
> kann die eine Cauchyfolge ist.
Ja, das ist der richtige Weg. Ist [mm] (e_{n_k}) [/mm] irgendeine Teilfolge von [mm] (e_n), [/mm] so gilt
[mm] ||e_{n_k}-e_{n_j}||=2 [/mm] für alle k,j mit [mm] k\ne [/mm] j.
Damit ist [mm] (e_{n_k}) [/mm] keine Cauchyfolge in V. Damit kann [mm] (e_{n_k}) [/mm] nicht konvergieren ! Denn eine konvergente Folge in einem metrischen Raum ist immer eine Cauchyfolge.
FRED
>
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 29.09.2015 | | Autor: | sissile |
Danke, alles klar!
LG,
sissi
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