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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei x eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl [mm] \ge [/mm] 1. Die Punkte [mm] A_k^{n} [/mm] auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene seinen wie folgt definiert:
[mm] A_k^{n}:=e^{i\bruch{k}{n}x}, [/mm] k= 0,1,...,n
Sei [mm] L_n [/mm] die Länge des Polygonzugs [mm] A_0^{n}A_1^{n}...A_n^{n}, [/mm] d.h.
[mm] L_n=\summe_{k=1}^{n}{|A_k^{(n)}-A_k^{(n-1)}|}.
[/mm]
Man beweise:
(a) [mm] L_n=2n|sin\bruch{x}{2n}|,
[/mm]
(b) [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2n [mm] sin\bruch{x}{2n}=x [/mm] |
(a)
[mm] L_n=\summe_{k=1}^{n}{|A_k^{(n)}-A_k^{(n-1)}|} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{|e^{i\bruch{k}{n}x}-e^{i\bruch{k}{(n-1)}x}|}= \summe_{k=1}^{n}{|e^{i\bruch{-k}{n^2-n}x}|} [/mm] = ...
Wie könnte ich hier weiter umformen um zum Ziel zu kommen?
(b)
Hätte hier vllt jmd einen Ansatz für mich mit dem ich arbeiten könnte?
Danke und Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 23.01.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> (b) [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2n [mm]sin\bruch{x}{2n}=x[/mm]
> (b)
> Hätte hier vllt jmd einen Ansatz für mich mit dem ich
> arbeiten könnte?
Für reelles z ist [mm] \lim_{z \rightarrow 0} \bruch{sinz}{z} [/mm] = 1, was man wohl mit der Regel von l'Hôpital beweist. Und damit hast du für diesen Teil einen Ansatz.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
und wie soll ich dann ansetzten?
ich stehe wohl geradt einfach nur auf dem schlauch ... könnte mir jmd vllt erläutern was zu tun ist? :-[
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mi 23.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> ich stehe wohl geradt einfach nur auf dem schlauch ...
Scheint so.
> könnte mir jmd vllt erläutern was zu tun ist? :-[
Du setzt z = [mm] \bruch{x}{2n}
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
achso ... :-[
dann habe ich also:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2n [mm] sin(\bruch{x}{2n})=x [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{x}{2n})= \bruch{x}{2n}
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(\bruch{x}{2n})}{\bruch{x}{2n}}= [/mm] 1
und das ist nach der o.g. eigenschaft wahr.
Passt das dann? Und kann ich trotz des Limes so wild umformen?
Danke für die Geduld und Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mi 23.01.2008 | | Autor: | statler |
Nabend!
> achso ... :-[
>
> dann habe ich also:
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2n [mm]sin(\bruch{x}{2n})=x[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{x}{2n})= \bruch{x}{2n}[/mm]
>
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(\bruch{x}{2n})}{\bruch{x}{2n}}=[/mm]
> 1
>
> und das ist nach der o.g. eigenschaft wahr.
>
> Passt das dann? Und kann ich trotz des Limes so wild
> umformen?
Naja, deine Schlußrichtung muß von unten nach oben gehen, und du solltest dir vielleicht mit [mm] \epsilon [/mm] und [mm] n_{0} [/mm] überlegen, daß das so OK ist. Ohne jeden Text würde ich es nicht akzeptieren.
Ich gehe jetzt offline, ciao
Dieter
>
> Danke für die Geduld und Gruß Zerwas
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Zerwas!
> Sei x eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl [mm]\ge[/mm] 1.
> Die Punkte [mm]A_k^{n}[/mm] auf dem Einheitskreis der komplexen
> Ebene seinen wie folgt definiert:
> [mm]A_k^{n}:=e^{i\bruch{k}{n}x},[/mm] k= 0,1,...,n
> Sei [mm]L_n[/mm] die Länge des Polygonzugs
> [mm]A_0^{n}A_1^{n}...A_n^{n},[/mm] d.h.
> [mm]L_n=\summe_{k=1}^{n}{|A_k^{(n)}-A_k^{(n-1)}|}.[/mm]
> Man beweise:
> (a) [mm]L_n=2n|sin\bruch{x}{2n}|,[/mm]
> (b) [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2n [mm]sin\bruch{x}{2n}=x[/mm]
> (a)
> [mm]L_n=\summe_{k=1}^{n}{|A_k^{(n)}-A_k^{(n-1)}|}[/mm] =
Das ist aber nicht der angegebene Polygonzug [mm]A_0^{n}A_1^{n}...A_n^{n},[/mm], denn dessen Länge ist
[mm]L_n=\summe_{k=1}^{n}{|A_k^{(n)}-A_{k-1}^{(n)}|} = \summe_{k=1}^{n} \left|e^{i\bruch{k}{n}x}-e^{i\bruch{k-1}{n}x}\right| = \summe_{k=1}^{n} \underbrace{\left|e^{i\bruch{k-1/2}{n}x}\right|}_{=1}* \left|e^{i\bruch{1/2}{n}x}-e^{-i\bruch{1/2}{n}x}\right|[/mm]
Da steht der Sinus ja fast schon da.
Anschaulich ist das auch klar: die Punkte des Polygons liegen auf dem Einheitskreis. Je zwei benachbarte Punkte haben den gleichen Abstand und bilden mit dem Ursprung ein gleichseitiges Dreieck, dessen Winkel am Ursprung gerade [mm]\bruch{k}{n}x[/mm] ist. Daraus ergibt sich dieser Abstand zu [mm]2|sin\bruch{x}{2n}|[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Fr 03.01.2014 | | Autor: | a232 |
| Aufgabe | | $ [mm] L_n=\summe_{k=1}^{n}{|A_k^{(n)}-A_{k-1}^{(n)}|} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \left|e^{i\bruch{k}{n}x}-e^{i\bruch{k-1}{n}x}\right| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \underbrace{\left|e^{i\bruch{k-1/2}{n}x}\right|}_{=1}\cdot{} \left|e^{i\bruch{1/2}{n}x}-e^{-i\bruch{1/2}{n}x}\right| [/mm] $ |
Hallo :)
Der Thread ist schon etwas älter, aber genau mit dieser Aufgabe beschäftige ich mich gerade.
Ich könnte den Lösungsweg gut nachvollziehen und den Ansatz auch zu ende führen. Jedoch wäre ich nie darauf gekommen, dass
[mm] {\left|e^{i\bruch{k-1/2}{n}x}\right|=1} [/mm] ist.
Warum ist dies so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:51 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [mm]L_n=\summe_{k=1}^{n}{|A_k^{(n)}-A_{k-1}^{(n)}|} = \summe_{k=1}^{n} \left|e^{i\bruch{k}{n}x}-e^{i\bruch{k-1}{n}x}\right| = \summe_{k=1}^{n} \underbrace{\left|e^{i\bruch{k-1/2}{n}x}\right|}_{=1}\cdot{} \left|e^{i\bruch{1/2}{n}x}-e^{-i\bruch{1/2}{n}x}\right|[/mm]
>
> Hallo :)
>
> Der Thread ist schon etwas älter, aber genau mit dieser
> Aufgabe beschäftige ich mich gerade.
> Ich könnte den Lösungsweg gut nachvollziehen und den
> Ansatz auch zu ende führen. Jedoch wäre ich nie darauf
> gekommen, dass
>
> [mm]{\left|e^{i\bruch{k-1/2}{n}x}\right|=1}[/mm] ist.
>
> Warum ist dies so?
Setze [mm] \phi:=\bruch{k-1/2}{n}x, [/mm] dann gilt nach Euler:
[mm] {\left|e^{i\bruch{k-1/2}{n}x}\right|}=|e^{i\phi}|=|\cos(\phi)+i\sin(\phi)|
[/mm]
Setze [mm] f(x):=\cos(x)+i\sin(x), [/mm] dann gilt:
[mm] -1\le f(x)\le1 [/mm] bzw. [mm] $0\le|f(x)|\le1$ [/mm] für alle $x$
Hilft dir das?
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Sa 04.01.2014 | | Autor: | a232 |
Ja, vielen Dank :))
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