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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Man soll zeigen, dass die komplexen Lösungen von [mm] x^3 [/mm] -1=0 eine abelsche gruppe berzüglich der Multiplikation bilden. |
1) Ich wollte man zuerst die 3 Lösungen rausfinden (ich weiß - muss man nicht unbedingt machen - möchte ich aber^^) Ich hab sie auch mittels Polynomdivision und kleine Lösungsformel. Aber Tutor meinte es gibt zweite Variante mittels Einheitskreis.
Hab mir nun den kreis aufgezeichnet mit rechts 1, oben i, links -1 und unten -i
aber wie komme ich am einheitskreis auf die lösungen'?
[mm] x_1 [/mm] = 1
[mm] x_2=-1/2 [/mm] + i * [mm] \sqrt(3)/4
[/mm]
[mm] x_3=-1/2 [/mm] - i * [mm] \sqrt(3)/4
[/mm]
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Hallo sissile,
> Man soll zeigen, dass die komplexen Lösungen von [mm]x^3[/mm] -1=0
> eine abelsche gruppe berzüglich der Multiplikation
> bilden.
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> 1) Ich wollte man zuerst die 3 Lösungen rausfinden (ich
> weiß - muss man nicht unbedingt machen - möchte ich
> aber^^) Ich hab sie auch mittels Polynomdivision und kleine
> Lösungsformel. Aber Tutor meinte es gibt zweite Variante
> mittels Einheitskreis.
> Hab mir nun den kreis aufgezeichnet mit rechts 1, oben i,
> links -1 und unten -i
> aber wie komme ich am einheitskreis auf die lösungen'?
> [mm]x_1[/mm] = 1
> [mm]x_2=-1/2[/mm] + i * [mm]\sqrt(3)/4[/mm]
> [mm]x_3=-1/2[/mm] - i * [mm]\sqrt(3)/4[/mm]
Trage ausgehend von der positven x-Achse fortlaufend
einen Winkel von [mm]120^{\circ}[/mm] ab.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
ja sin (120) = [mm] \sqrt(3)/2 [/mm] i
und sin (210) = - [mm] \sqrt(3)/2 [/mm] i
und dann muss man noch -1/2 in x-richtung
ist klar, dass das richtige ergebnis rauskommt.
aber wie komme ich denn genau auf 120 Grad?
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Hallo sissile,
> ja sin (120) = [mm]\sqrt(3)/2[/mm] i
> und sin (210) = - [mm]\sqrt(3)/2[/mm] i
> und dann muss man noch -1/2 in x-richtung
>
> ist klar, dass das richtige ergebnis rauskommt.
>
>
> aber wie komme ich denn genau auf 120 Grad?
Die drei Lösungen von [mm]z^3-1=0[/mm] liegen auf dem Einheitskreis und bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreiecks.
Und [mm]360^\circ:3=120^\circ[/mm]
Schaue doch mal hier bei den Einheitswurzeln rein; dort steht auch etwas zum geometrischen Bezug:
http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke ist mir klar.
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