Einheit, irreduzibel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm]K:= \IQ(\sqrt(3))[/mm] und [mm]R:=\{a+b\cdot \sqrt{3}|a,b\in \IZ\} \subset K[/mm]. Zeigen, dass [mm]2+\sqrt{3}[/mm] eine Einheit ist. Zeige, dass [mm]5+3\sqrt{3}\in R[/mm] ein irreduzibles Element ist. Zeige, dass [mm]-14-8\sqrt{3}\in R[/mm] nicht irreduzibel ist. |
Hallo!
Bei obigen Aufgaben habe ich Probleme, sie zu lösen. Sie stammen aus einer Algebra1 - Klausur.
Die Zahl [mm]2+\sqrt{3}[/mm] ist eine Einheit, weil multipliziert mit [mm]2-\sqrt{3}[/mm] ja 1 herauskommt.
Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm]5+3\sqrt{3}[/mm] irreduzibel ist. Ich muss ja eine Faktorisierung [mm]5+3\sqrt{3} = a*b[/mm] mit [mm]a,b\in R[/mm] annehmen und zeigen, dass [mm]a,b[/mm] nur Einheiten sein können. Dafür müsste ich aber erstmal wissen, was in diesem Ring überhaupt Einheiten sind ?
Beim dritten Teil [mm]-14-8\sqrt{3} = 2*(-7-4\sqrt{3})[/mm] müsste ich eine Faktorisierung [mm]a*b[/mm] finden, wo [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] nicht Einheiten sind. Da weiß ich auch nicht genau, wie ich vorgehen soll. Ich habe schon herausgefunden: [mm]7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{2}[/mm], weiß aber nicht ob mit das was nützt.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 15.03.2011 | | Autor: | statler |
> Es sei [mm]K:= \IQ(\sqrt(3))[/mm] und [mm]R:=\{a+b\cdot \sqrt{3}|a,b\in \IZ\} \subset K[/mm].
> Zeigen, dass [mm]2+\sqrt{3}[/mm] eine Einheit ist. Zeige, dass
> [mm]5+3\sqrt{3}\in R[/mm] ein irreduzibles Element ist. Zeige, dass
> [mm]-14-8\sqrt{3}\in R[/mm] nicht irreduzibel ist.
Mahlzeit!
> Bei obigen Aufgaben habe ich Probleme, sie zu lösen. Sie
> stammen aus einer Algebra1 - Klausur.
>
> Die Zahl [mm]2+\sqrt{3}[/mm] ist eine Einheit, weil multipliziert
> mit [mm]2-\sqrt{3}[/mm] ja 1 herauskommt.
>
> Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm]5+3\sqrt{3}[/mm]
> irreduzibel ist. Ich muss ja eine Faktorisierung
> [mm]5+3\sqrt{3} = a*b[/mm] mit [mm]a,b\in R[/mm] annehmen und zeigen, dass
> [mm]a,b[/mm] nur Einheiten sein können. Dafür müsste ich aber
> erstmal wissen, was in diesem Ring überhaupt Einheiten
> sind ?
Vermutlich ist in der zu dieser Klausur gehörenden Vorlesung gezeigt worden, wie die Einheiten aussehen. Weißt du, was die Norm eines Elementes ist? Aus a [mm] \cdot [/mm] b = 1 folgt N(a) [mm] \cdot [/mm] N(b) = 1, damit kannst du die Einheiten vielleicht etwas einkreisen. Oder du fährst schweres Geschütz auf: Dirichletscher Einheitensatz.
> Beim dritten Teil [mm]-14-8\sqrt{3} = 2*(-7-4\sqrt{3})[/mm] müsste
> ich eine Faktorisierung [mm]a*b[/mm] finden, wo [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] nicht
> Einheiten sind. Da weiß ich auch nicht genau, wie ich
> vorgehen soll. Ich habe schon herausgefunden: [mm]7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{2}[/mm],
> weiß aber nicht ob mit das was nützt.
Doch das nutzt, jetzt mußt du noch -2 zerlegen, und das geht mit Teil b).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
danke für deine Antwort!
> > Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm]5+3\sqrt{3}[/mm]
> > irreduzibel ist. Ich muss ja eine Faktorisierung
> > [mm]5+3\sqrt{3} = a*b[/mm] mit [mm]a,b\in R[/mm] annehmen und zeigen, dass
> > [mm]a,b[/mm] nur Einheiten sein können. Dafür müsste ich aber
> > erstmal wissen, was in diesem Ring überhaupt Einheiten
> > sind ?
>
> Vermutlich ist in der zu dieser Klausur gehörenden
> Vorlesung gezeigt worden, wie die Einheiten aussehen.
> Weißt du, was die Norm eines Elementes ist? Aus a [mm]\cdot[/mm] b
> = 1 folgt N(a) [mm]\cdot[/mm] N(b) = 1, damit kannst du die
> Einheiten vielleicht etwas einkreisen. Oder du fährst
> schweres Geschütz auf: Dirichletscher Einheitensatz.
Ich weiß aber nicht, wie diese Norm aussieht... Etwa so:
[mm] $N(a+b\sqrt{3}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] 3b^2$
[/mm]
?
Wie könnte ich jetzt fortfahren  ?
> > Beim dritten Teil [mm]-14-8\sqrt{3} = 2*(-7-4\sqrt{3})[/mm] müsste
> > ich eine Faktorisierung [mm]a*b[/mm] finden, wo [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] nicht
> > Einheiten sind. Da weiß ich auch nicht genau, wie ich
> > vorgehen soll. Ich habe schon herausgefunden: [mm]7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{2}[/mm],
> > weiß aber nicht ob mit das was nützt.
>
> Doch das nutzt, jetzt mußt du noch -2 zerlegen, und das
> geht mit Teil b).
Ah: Ich habe $-2 = [mm] -(5+3\sqrt(3))\cdot [/mm] (5 - [mm] 3\sqrt(3))$.
[/mm]
Damit habe ich jetzt:
[mm] $-14-8\sqrt{3} [/mm] = [mm] -2\cdot (-7-4\sqrt{3}) [/mm] = [mm] -(5+3\sqrt(3))\cdot [/mm] (5 - [mm] 3\sqrt(3)) \cdot (2+\sqrt{3}) \cdot (2+\sqrt{3})$.
[/mm]
Ich weiß aus b), dass der erste Faktor irreduzibel ist und dass die letzten beiden Faktoren Einheiten sind.
Wie komme ich jetzt an meine Zerlegung bestehend aus zwei Faktoren, die keine Einheiten sind?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stephan
> > > Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm]5+3\sqrt{3}[/mm]
> > > irreduzibel ist. Ich muss ja eine Faktorisierung
> > > [mm]5+3\sqrt{3} = a*b[/mm] mit [mm]a,b\in R[/mm] annehmen und zeigen, dass
> > > [mm]a,b[/mm] nur Einheiten sein können. Dafür müsste ich aber
> > > erstmal wissen, was in diesem Ring überhaupt Einheiten
> > > sind ?
> >
> > Vermutlich ist in der zu dieser Klausur gehörenden
> > Vorlesung gezeigt worden, wie die Einheiten aussehen.
> > Weißt du, was die Norm eines Elementes ist? Aus a [mm]\cdot[/mm] b
> > = 1 folgt N(a) [mm]\cdot[/mm] N(b) = 1, damit kannst du die
> > Einheiten vielleicht etwas einkreisen. Oder du fährst
> > schweres Geschütz auf: Dirichletscher Einheitensatz.
>
> Ich weiß aber nicht, wie diese Norm aussieht... Etwa so:
>
> [mm]N(a+b\sqrt{3}) = a^2 - 3b^2[/mm]
Die Norm ist $N(a + b [mm] \sqrt{3}) [/mm] = (a + b [mm] \sqrt{3}) [/mm] (a - b [mm] \sqrt{3}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - 3 [mm] b^2$, [/mm] ja.
> Wie könnte ich jetzt fortfahren ?
Nun, $x [mm] \in [/mm] R$ ist genau dann eine Einheit, wenn $N(x) = [mm] \pm [/mm] 1$ ist.
Weiterhin gilt $N(x y) = N(x) N(y)$.
Damit kannst du jetzt etwas machen. Wende doch mal die Norm auf $5 + 3 [mm] \sqrt{3} [/mm] = x y$ an.
> > > Beim dritten Teil [mm]-14-8\sqrt{3} = 2*(-7-4\sqrt{3})[/mm] müsste
> > > ich eine Faktorisierung [mm]a*b[/mm] finden, wo [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] nicht
> > > Einheiten sind. Da weiß ich auch nicht genau, wie ich
> > > vorgehen soll. Ich habe schon herausgefunden: [mm]7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{2}[/mm],
> > > weiß aber nicht ob mit das was nützt.
> >
> > Doch das nutzt, jetzt mußt du noch -2 zerlegen, und das
> > geht mit Teil b).
>
> Ah: Ich habe [mm]-2 = -(5+3\sqrt(3))\cdot (5 - 3\sqrt(3))[/mm].
Hast du da nicht einen Vorzeichenfehler drinnen?
> Damit habe ich jetzt:
>
> [mm]-14-8\sqrt{3} = -2\cdot (-7-4\sqrt{3})[/mm]
Hier auch :)
> [mm] = -(5+3\sqrt(3))\cdot (5 - 3\sqrt(3)) \cdot (2+\sqrt{3}) \cdot (2+\sqrt{3})[/mm].
>
> Ich weiß aus b), dass der erste Faktor irreduzibel ist und
> dass die letzten beiden Faktoren Einheiten sind.
>
> Wie komme ich jetzt an meine Zerlegung bestehend aus zwei
> Faktoren, die keine Einheiten sind?
Der erste Faktor ist [mm] $(5+3\sqrt(3))$, [/mm] der zweite Faktor der Rest zusammenmultipliziert.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort !
> > > > Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm]5+3\sqrt{3}[/mm]
> > > > irreduzibel ist. Ich muss ja eine Faktorisierung
> > > > [mm]5+3\sqrt{3} = a*b[/mm] mit [mm]a,b\in R[/mm] annehmen und zeigen, dass
> > > > [mm]a,b[/mm] nur Einheiten sein können. Dafür müsste ich aber
> > > > erstmal wissen, was in diesem Ring überhaupt Einheiten
> > > > sind ?
>
> Die Norm ist [mm]N(a + b \sqrt{3}) = (a + b \sqrt{3}) (a - b \sqrt{3}) = a^2 - 3 b^2[/mm],
> ja.
>
> > Wie könnte ich jetzt fortfahren ?
>
> Nun, [mm]x \in R[/mm] ist genau dann eine Einheit, wenn [mm]N(x) = \pm 1[/mm]
> ist.
>
> Weiterhin gilt [mm]N(x y) = N(x) N(y)[/mm].
>
> Damit kannst du jetzt etwas machen. Wende doch mal die Norm
> auf [mm]5 + 3 \sqrt{3} = x y[/mm] an.
Ah, ich erinnere mich... Sowas haben wir irgendwann mal in LA gemacht.
Also:
$-2 = 25 - 3*9 = [mm] N(5+3\sqrt{3}) [/mm] = [mm] N(x)\cdot [/mm] N(y)$
Da die Norm ganzzahlig ist und 2 prim, muss entweder N(x) oder N(y) Eins / -Eins sein. Also ist x oder y eine Einheit und damit $5 + [mm] 3\sqrt{3}$ [/mm] irreduzibel.
> > > > Beim dritten Teil [mm]-14-8\sqrt{3} = 2*(-7-4\sqrt{3})[/mm] müsste
> > > > ich eine Faktorisierung [mm]a*b[/mm] finden, wo [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] nicht
> > > > Einheiten sind. Da weiß ich auch nicht genau, wie ich
> > > > vorgehen soll. Ich habe schon herausgefunden: [mm]7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{2}[/mm],
> > > > weiß aber nicht ob mit das was nützt.
> > >
> > > Doch das nutzt, jetzt mußt du noch -2 zerlegen, und das
> > > geht mit Teil b).
> >
> > Ah: Ich habe [mm]-2 = -(5+3\sqrt(3))\cdot (5 - 3\sqrt(3))[/mm].
>
> Hast du da nicht einen Vorzeichenfehler drinnen?
>
> > Damit habe ich jetzt:
> >
> > [mm]-14-8\sqrt{3} = -2\cdot (-7-4\sqrt{3})[/mm]
>
> Hier auch :)
>
> > [mm]= -(5+3\sqrt(3))\cdot (5 - 3\sqrt(3)) \cdot (2+\sqrt{3}) \cdot (2+\sqrt{3})[/mm].
Ja, du hast recht. Vorzeichenfehler, das Minus muss weg.
> Der erste Faktor ist [mm](5+3\sqrt(3))[/mm], der zweite Faktor der
> Rest zusammenmultipliziert.
Die Bestätigung, dass der erste und der zweite Faktor keine Einheiten sind, erfolgt dann wieder mit der Normfunktion, nehme ich an? Dann habe ich es verstanden.
Vielen Dank!
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stephan,
> > Nun, [mm]x \in R[/mm] ist genau dann eine Einheit, wenn [mm]N(x) = \pm 1[/mm]
> > ist.
> >
> > Weiterhin gilt [mm]N(x y) = N(x) N(y)[/mm].
> >
> > Damit kannst du jetzt etwas machen. Wende doch mal die Norm
> > auf [mm]5 + 3 \sqrt{3} = x y[/mm] an.
>
> Ah, ich erinnere mich... Sowas haben wir irgendwann mal in
> LA gemacht.
> Also:
>
> [mm]-2 = 25 - 3*9 = N(5+3\sqrt{3}) = N(x)\cdot N(y)[/mm]
>
> Da die Norm ganzzahlig ist und 2 prim, muss entweder N(x)
> oder N(y) Eins / -Eins sein. Also ist x oder y eine Einheit
> und damit [mm]5 + 3\sqrt{3}[/mm] irreduzibel.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Der erste Faktor ist [mm](5+3\sqrt(3))[/mm], der zweite Faktor der
> > Rest zusammenmultipliziert.
>
> Die Bestätigung, dass der erste und der zweite Faktor
> keine Einheiten sind, erfolgt dann wieder mit der
> Normfunktion, nehme ich an? Dann habe ich es verstanden.
Genau.
LG Felix
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Danke Felix
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