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Hallo Zusammen,
| Aufgabe |
Die normalisierte Darstellung einer Zahl [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] lautet
[mm]\pm\left(m_0.m_1\ldots m_{\ell}m_{\ell+1}\ldots\right)b^e,[/mm]
mit [mm]e \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}_{>1}[/mm] und für jedes Glied der Folge [mm]\left(m_i\right)_{i\in\mathbb{N}}[/mm] gilt [mm]m_i \in \{0,\dotsc,b-1\}[/mm] und [mm]m_0\in\{1,\dotsc,b-1\}[/mm].
Rundet man nun bis zur Stelle [mm]\ell[/mm] auf, so erhält man
[mm]\tilde{x} := \begin{cases}
\pm\left(m_0.m_1\ldots m_{\ell}\right)b^e,&\texttt{falls }m_{\ell+1} < \operatorname{rd}\frac{b}{2}\\
\pm\left(m_0.m_1\ldots \left(m_{\ell}+1\right)\right)b^e,&\texttt{falls }m_{\ell+1} \ge \operatorname{rd}\frac{b}{2}\\
\end{cases}.[/mm]
Dann gilt für den absoluten Fehler
[mm]e_a = \left|\tilde{x} - x\right| \mathrel{\textcolor{red}{\le}} \frac{b}{2}b^{-(\ell+1)}b^e = \frac{1}{2}b^{-\ell}b^e.[/mm] |
... und meine Frage wäre, wie man nun auf die rote Abschätzung kommt?
Ich habe mir gedacht, daß der Fehler am größten werden sollte, wenn man nach oben runden muß (Fall 2 der Fallunterscheidung). Also gilt:
[mm]e_a = \left|\tilde{x}-x\right| = \left|x-\tilde{x}\right| = \left|b^e\right|\left|\left(\pm\sum_{i=0}^{\infty}{m_ib^{-i}}\right) - \left[\pm\left(\left(\sum_{i=0}^{\ell-1}{m_ib^{-i}}\right) + m_{\ell}b^{-\ell} + b^{-\ell}\right)\right]\right|[/mm]
[mm]=\left|b^e\right|\left|\left(\sum_{i=0}^{\infty}{m_ib^{-i}}\right) - \left(\left(\sum_{i=0}^{\ell-1}{m_ib^{-i}}\right) + m_{\ell}b^{-\ell} + b^{-\ell}\right)\right|=\left|b^e\right|\left|\left(\sum_{i=\ell+1}^{\infty}{m_ib^{-i}}\right) - b^{-\ell}\right|[/mm]
[mm]=\left|b^e\right|\left|\left(\sum_{i=0}^{\infty}{m_{i+\ell+1}b^{-i-(\ell+1)}}\right) - b^{-\ell}\right| = \left|b^e\right|\left|\left(b^{-\ell}b^{-1}\sum_{i=0}^{\infty}{m_{i+\ell+1}b^{-i}}\right) - b^{-\ell}\right|[/mm]
[mm]= \left|b^e\right|\left|b^{-\ell}\right|\left|\left(b^{-1}\sum_{i=0}^{\infty}{m_{i+\ell+1}b^{-i}}\right) - 1\right|[/mm]
Aber wie zeige ich, daß [mm]\textstyle\left|\left(b^{-1}\sum_{i=0}^{\infty}{m_{i+\ell+1}b^{-i}}\right) - 1\right| \le \frac{1}{2}[/mm] ist?
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:08 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Zusammen,
> [mm]= \left|\left(b^{-1}\sum_{i=0}^{\infty}{m_{i+\ell+1}b^{-i}}\right) - 1\right|[/mm]
Ich habe es jetzt an einem Beispiel im 10er-System probiert und meine, daß ...
wenn man hier für [mm]\textstyle\sum_{i=0}^{\infty}{m_{i+\ell+1}b^{-i}}[/mm] den Wert [mm]\tfrac{b}{2}[/mm] einsetzt, die Ungleichung aufgeht:
[mm]= \left|\left(b^{-1}\frac{b}{2}\right) - 1\right| = \left|\frac{1}{2}-1\right| = \frac{1}{2}[/mm]
Ich müßte es jetzt nur noch begründen, warum gerade diese Abschätzung sinnvoll ist. Auf jeden Fall war es nicht ganz richtig von mir am Anfang [mm]\left|x-\tilde{x}\right|[/mm] statt [mm]\left|\tilde{x}-x\right|[/mm] zu rechnen, da [mm]\tilde{x} > x[/mm] für diese Abschätzung sein muß.
Auf die Vermutung [mm]\tfrac{b}{2}[/mm] bin ich gekommen, da im 10er-System der Abstand zwischen [mm]\tilde{x}[/mm] und [mm]x[/mm] am größten wird, wenn [mm]x[/mm] an Stelle [mm]\ell+1[/mm] eine 5 und weiter sonst nur Nullen enthält. Damit ergibt sich ungefähr folgende Rechnung:
[mm]1000\ldots - 5000\ldots = 5000\ldots[/mm], wobei die zweite Zahl eine Stelle weniger haben soll.
Na ja, ich schau mal wie ich's formal aufschreiben kann. Irgendwie ist es mir jetzt klar, nur ist es (noch) undeutlich... . ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Grüße
Karl
[P.S. Die Frage hat sich dann wohl erledigt.]
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