Einfachstichprobenprüfung < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Goliath |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt:
Folgende Aufgabenstellung:
Ein Hersteller von Dichtungsringen weiß, dass der Anteil schadhafter Dichtungen im Mittel um 1% beträgt, nach oben aber ein Fehleranteil von 2& nicht überschritten wird. Er fordert daher eine Annahmewahrscheinlichkeit von mind. 90% bis 2% Fehleranteil.
Der Kunde will wirksamer geschützt sein und verlangt nun, dass bereits ab p=8% die Annahmewahrscheinlichkeit höchstens 10% beträgt.
a) Wie lautet die geeignete (Einfach-)Prüfanweisung, die beide Ansprüche erfüllt? (Rechnen Sie binomial) [richtiges Ergebnis: 90 - 3]
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle p/Pa für p= 0, 0.01, 0.02,...0.15 (binomial, mit Tabellenbuch oder MATHCAD)
usw. (ginge bis g)) |
1) Laut Skriptum ist die geeignete Stichprobenanweisung 90-3.
Mit folgenden Daten habe ich versucht die Stichprobenanweisung zunächst im Larson- Nomogramm zu finden:
Linie1: p= 0,08 und G= 0,10
Linie2: p= 0,02 und G= 0,90
Aufgrund des sich ergebenden Schnittpunkts würde ich eine 80-3- Anweisung anordnen. Liege ich damit falsch?
2) Wie berechne ich die Stichprobenanweisung mit der Binomialverteilung? Ist das überhaupt möglich? Immerhin hätte ich 2 unbekannte, da ich das Gleichungssystem wie folgt ansetzen würde:
(n über [mm] c)*0.02^c*0.98^{n-c}=0.90
[/mm]
(n über [mm] c)*0.08^c*0.92^{n-c}=0.10
[/mm]
Wie löse ich so ein Gleichungssystem?
WICHTIGER: Wie löse ich solch ein Gleichungssystem mit MathCAD?
3) Was übersehe ich vermutlich bei der Betrachtung dieser Fragestellung? Sehr geholfen wäre mir außerdem wenn jemand es vermag, mir die Lösung nicht "nur" hinzuschreiben sondern auch logisch mit eigenen Worten zu erklären. Vielleicht schaffe ich es dann leichter meine Denkbarrieren abzubauen.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 05.02.2008 | | Autor: | Goliath |
Ok. Die graphische Ermittlung im Larson- Nomogramm leuchtet mir mittlerweile ein.
Bleibt nur noch offen wie ich rechnerisch (mit Hilfe der Binomialverteilung) zu einer Einfachstichprobenanweisung komme.
MfG
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Hallo Martin,
ich heiße dich herzlichst ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So wie ich die Aufgabe ("Erstellen Sie eine Wertetabelle p/Pa für p= 0, 0.01, 0.02,...0.15") verstanden habe, sollst du nun, da du die Stichprobenanweisung kennst (90-3 ... wenn bei einer Stichprobe mit dem Umfang 90 Einheiten maximal 3 Einheiten fehlerhaft ist, dann ist die Gesamtmenge anzunehmen, anderenfalls ist sie abzulehnen) die Wahrscheinlichkeit bestimmen mit der eine Lieferung angenommen wird, wenn ein gewisser Prozentsatz p (in der Aufgabe soll er variieren) der Lieferung fehlerhaft ist.
Du müsstest nun also von einer Stichprobe von 90 ausgehen und ermitteln, wie hoch die Annahmewahrscheinlichkeit ist, wenn p=0, 0.01 usw. Prozent der Lieferung fehlerhaft sind und maximal 3 fehlerhafte Einheiten in der Stichprobe entdeckt werden dürfen.
Du müsttest nun einfach die Formel der Binomialverteilung mit den gegebenen Werten füttern und berechnen. Die Herangehensweise ist soweit klar? Wenn nicht: einfach nachfragen. Hinweis: Die Lieferung wird angenommen, wenn kein, einer, zwei oder drei Fehler gefunden werden (mit anderen Worten: Annahme erfolgt, wenn weniger als vier Fehler gefunden werden).
Gruß,
Tommy
PS:
Guck mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach. Dort findest du ein gelungenes Skript, welches die Thematik nochmal zusammenfassend darstellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Goliath |
Hallo Tommy!
Danke für die Willkommensgrüße, den Tipp und das Skriptum (habe bereits etwas geschmökert...). Freut mich ein wirklich gelungenes und seriöses Forum gefunden zu haben! So macht das Lösen mathematischer Fragestellungen Spaß!
Die Wertetabelle habe ich bereits gelöst und auch den entsprechenden Graphen gezeichnet. Mit MathCAD ist das auch in wenigen Minuten erledigt.
Offen ist noch, wie ich eine Stichprobenanweisung (außer n-0) mit Hilfe der Binomialverteilung berechnen kann; wie die Herangehensweise im Larson- Nomogramm lautet, ist mir klar.
MfG
Martin
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Hallo Martin,
> Offen ist noch, wie ich eine Stichprobenanweisung (außer
> n-0) mit Hilfe der Binomialverteilung berechnen kann; wie
> die Herangehensweise im Larson- Nomogramm lautet, ist mir
> klar.
Ich verstehe nicht ganz, warum du das machen möchtest, weil es nicht zur Lösung deiner Aufgabe gehört.
Da du aber offenkundig Interesse daran hast  , hier meine Idee, wie du das lösen könntest:
Dir liegen generell vier Einflussgrößen vor: die Fehlerwahrscheinlichkeit in deiner Stichprobe, der Stichprobenumfang, die maximale Anzahl von fehlerhaften Einheiten und die Sicherheit, mit der die Annahmewahrscheinlichkeit gesichert sein soll.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit in der Stichprobe ist indirekt durch den Lieferanten vorgegeben. Die kennst du also eigentlich. Den Stichprobenumfang kannst du variieren, je nach Größe der Grundgeamtheit. Die maximale Anzahl von fehlerhaften Einheiten, die du in der Stichprobe entdecken darfst interessiert dich am ehesten. Die Annahmewahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Risikoeinstellung des Abnehmers, je höher diese ist, desto risikoscheuer ist der Abnehmer der Einheiten, da er mit einer höheren Wahrscheinlichkeit die theoretischen Ergebnisse abgesichert haben möchte.
De Facto köntest nun also unter verschiedenen Szenarien berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit wäre die Lieferung anzunehmen, wennn die Fehlerwahrscheinlichkeit in der Stichprobe sich c.p. verändert. Wenn du dir die Sicherheit vorgibts, dann kannst du darüber die Unsicherheit ableiten. du müsstest also bei einer 90%-igen Sicherung berechnen, wieviel Teile der Stichprobe fehlerhaft sein dürfen,damit diese Sicherheit nicht unterschritten (bzw. die Unsicherheit nicht überschritten) wird. Also alle Einzelwahrscheinlichkeiten mittels Binomialverteilung berechnen und aufsummieren und gucken, bei welcher Menge fehlerhafter Teile deine Sicherheitsbeschränkung überschritten wird.
Du siehst: das Ganze ist viel zu kompliziert, als dass es von euch verlangt werden könnte. Generell solltet ihr die Stichprobenanweisungen mittels Larsson-Nomogramm ermitteln oder, in der BRD, laut Tabellenwerk der DGQ. Das ist wesentlich einfacher un eleganter, als es per Hand berechnen zu müssen. Vor allem: Mit der Variation der Fehlerwahrscheinlichkeiten in der Stichprobe erhöht sich auch dein Rechenaufwand.
Kurzum: benutze die einfachen Hilfsmittel (Larsson bzw. Tabellenwerk).
Gruß,
Tommy
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