Einfaches Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
ich hab mich grade neu angemeldet und studiere Mathe im ersten Semester.
Deswegen erscheint euch die folgende Frage wahrscheinlich auch recht simpel:
Also es geht um ein Gleichungssystem:
ax + by = 0
cx + dy = 0
Aufgabe: Man zeige: Mit x = [mm] x_{0} [/mm] ; y = [mm] y_{0} [/mm] ist für jede konstante k auch x = k [mm] x_{0} [/mm] ; y = k [mm] y_{0} [/mm] eine Lösung des systems
meine Frage: für was genau steht [mm] x_{0} [/mm] bzw [mm] y_{0} [/mm] und wie zeige bzw beweise ich die Beh?
Meine Überlegung:
Das homogene Gleichungssystem in reduzierte Zeilenstufenform bringen, naja und weiter weiss ich nich.
Wäre dankbar für Erklärungen,Lösungsansätze
Es ist mir bewusst das es sich bei dieser Aufgabe nicht grade um die schwerste handelt nur sollte man die einfachen Aufgaben verstehn um sich den kniffligeren zu widmen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mo 28.03.2005 | | Autor: | andreas |
hallo adrenaline
[mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] sind einfach irgendeine lösung des gleichungssystems, d.h. nichts anderes, als dass
[m] ax_0 + by_0 = 0[/m]
[m] cx_0 + dy_0 = 0[/m]
nun musst du zeigen, dass auch
[m] a(kx_0) + b(ky_0) = 0[/m]
[m] c(kx_0) + d(ky_0) = 0[/m].
dazu bietet sich an erstmal einen gemeinsamen faktor in jeder zeile auszuklammern und dann die vorrausstzung zu verwenden, dann bist du fertigt. probiere das doch mal und poste deinen lösungsweg, oder zumindest soweit du kommst, hier, dann können wir dir gezielt weiterhelfen.
grüße
andreas
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Hey also ich bin beeindruckt!!!
Danke das du so schnell geantwortet hast!!
Lösungsversuch:
habe k als gemeinsamen Faktor ausgeklammert
k(a [mm] x_{0} [/mm] + b [mm] y_{0}) [/mm] = 0
k(c [mm] x_{0} [/mm] + d [mm] y_{0}) [/mm] = 0
und anschliesend durch k geteilt? dann erhalte ich wieder die Voraussetzung.. ist das so in ordnung?
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> Und vielleicht noch ein kleiner Kommentar von mir:
> das Ganze bedeutet dann, dass jedes Vielfache einer Lösung
> eines homogenen linearen Gleichungssystems wieder eine
> Lösung dieses Systems ist. Und wenn ich mich nicht irre,
> gilt das nicht nur für Vielfache, sondern für jede
> Linearkombination. Oder musst du das vielleicht sogar als
> nächstes beweisen? 
Also vielen dank Bastiane!!!
Ich bin sprachlos was die Schnelligkeit und Präzision der Antworten betrifft!
Wirklich ein tolle Seite!!
Naja allerdings hast du nicht ganz unrecht mit der Behauptung das ich als nächstes Liearkombinationen zeigen muss...zumindest glaub ich das es welche sind ;)
Hier die Aufgabe:
Man zeige: Sind x = [mm] x_{0} [/mm] ; y = [mm] y_{0} [/mm] und x = [mm] x_{1} [/mm] ; y = [mm] y_{1} [/mm] zwei Lösungen des Systems, so ist auch x = [mm] x_{0} [/mm] + [mm] x_{1} [/mm] ; y = [mm] y_{0} [/mm] + [mm] y_{1} [/mm] eine lösung
Naja, was mach ich jetzt? Die gleichung umzuformen hab ich versucht nur komm ich nicht auf die Voraussetzung... danke im Voraus!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Moe!
> > Und vielleicht noch ein kleiner Kommentar von mir:
> > das Ganze bedeutet dann, dass jedes Vielfache einer
> Lösung
> > eines homogenen linearen Gleichungssystems wieder eine
> > Lösung dieses Systems ist. Und wenn ich mich nicht irre,
> > gilt das nicht nur für Vielfache, sondern für jede
> > Linearkombination. Oder musst du das vielleicht sogar als
> > nächstes beweisen?
>
> Also vielen dank Bastiane!!!
> Ich bin sprachlos was die Schnelligkeit und Präzision der
> Antworten betrifft!
> Wirklich ein tolle Seite!!
>
> Naja allerdings hast du nicht ganz unrecht mit der
> Behauptung das ich als nächstes Liearkombinationen zeigen
> muss...zumindest glaub ich das es welche sind ;)
>
> Hier die Aufgabe:
>
> Man zeige: Sind x = [mm]x_{0}[/mm] ; y = [mm]y_{0}[/mm] und x = [mm]x_{1}[/mm] ; y =
> [mm]y_{1}[/mm] zwei Lösungen des Systems, so ist auch x = [mm]x_{0}[/mm] +
> [mm]x_{1}[/mm] ; y = [mm]y_{0}[/mm] + [mm]y_{1}[/mm] eine lösung
>
Da [mm] $x=x_0$, $y=y_0$ [/mm] Lösung des Systems ist, folgt:
(I) [mm] $ax_0+by_0=0$
[/mm]
(II) [mm] $cx_0+dy_0=0$.
[/mm]
Da [mm] $x=x_1$, $y=y_1$ [/mm] Lösung des Systems ist, folgt:
(III) [mm] $ax_1+by_1=0$
[/mm]
(IV) [mm] $cx_1+dy_1=0$.
[/mm]
Und du hast nun zu zeigen, dass auch die folgenden zwei Gleichungen gelten:
(i) [mm] $a(x_0+x_1)+b(y_0+y_1)=0$
[/mm]
(ii) [mm] $c(x_0+x_1)+d(y_0+y_1)=0$
[/mm]
Beweis zu (i):
Es gilt:
[m]a(x_0+x_1)+b(y_0+y_1)=ax_0+ax_1+by_0+by_1
=\underbrace{(ax_0+by_0)}_{=0,\;wegen\;(I)}+\underbrace{(ax_1+by_1)}_{=0,\;wegen\;(III)}
=0+0=0[/m].
Beweis zu (ii):
Den schaffst du nun alleine, oder?
PS: Geht es hier eigentlich überall um reelle Zahlen? Irgendwie fehlt mir hier eine Angabe, ob $a,b,c,d, [mm] x_0$ [/mm] etc. [mm] $\in \IR$, $\in \IC$, [/mm] Elemente eines Körpers oder was auch immer sein sollen...
(Das ist auch nicht ganz unwichtig, denn bei meinem Beweis zu (i) habe ich ja das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz verwendet...)
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mo 28.03.2005 | | Autor: | adrenaline |
Danke Marcel für deine Antwort und danke an alle die mir mit dieser Aufgabe geholfen haben ich denke diese Grundlage ist das Fundament für viele weitere Aufgaben im Studium!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal!
> Hey also ich bin beeindruckt!!!
> Danke das du so schnell geantwortet hast!!
>
> Lösungsversuch:
>
> habe k als gemeinsamen Faktor ausgeklammert
>
> k(a [mm]x_{0}[/mm] + b [mm]y_{0})[/mm] = 0
> k(c [mm]x_{0}[/mm] + d [mm]y_{0})[/mm] = 0
>
> und anschliesend durch k geteilt? dann erhalte ich wieder
> die Voraussetzung.. ist das so in ordnung?
Leider ist das nicht ganz in Ordnung, denn du würdest aus der Behauptung die Voraussetzung folgern. Du brauchst aber die Richtung:
Voraussetzung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Behauptung! Ist mir eben gar nicht aufgefallen !
Naja, was haben wir denn hier:
Voraussetzung:
(I) [mm] $ax_0+by_0=0$
[/mm]
(II) [mm] $cx_0+dy_0=0$
[/mm]
Zu zeigen:
Dann gelten (für jede Konstante $k$):
(i) [mm] $a(k*x_0)+b(k*y_0)=0$
[/mm]
(ii) [mm] $c(k*x_0)+d(k*y_0)=0$.
[/mm]
Beweis zu (i):
Es gilt für jedes $k$:
[mm] $a(k*x_0)+b(k*y_0)=k*\underbrace{(ax_0+by_0)}_{=0,\;wegen\;(I)}=k*0=0$.
[/mm]
Beweis zu (ii):
Den schaffst du nun auch alleine, oder?
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Marcel!
> > Lösungsversuch:
> >
> > habe k als gemeinsamen Faktor ausgeklammert
> >
> > k(a [mm]x_{0}[/mm] + b [mm]y_{0})[/mm] = 0
> > k(c [mm]x_{0}[/mm] + d [mm]y_{0})[/mm] = 0
> >
> > und anschliesend durch k geteilt? dann erhalte ich wieder
> > die Voraussetzung.. ist das so in ordnung?
>
> Leider ist das nicht ganz in Ordnung, denn du würdest aus
> der Behauptung die Voraussetzung folgern. Du brauchst aber
> die Richtung:
> Voraussetzung [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung! Ist mir eben gar
> nicht aufgefallen !
Mmh, ich hab micht ja auch gewundert, warum noch durch k geteilt wird. Aber wenn man es so macht, wie ich es geschrieben habe, also quasi mit meiner Erklärung, dann müsste das doch eigentlich stimmen, oder? Ist zwar nicht so schön, wie du es hier machst, aber meine Erklärung kommt ja auch bei dir vor:
> Naja, was haben wir denn hier:
> Voraussetzung:
> (I) [mm]ax_0+by_0=0[/mm]
> (II) [mm]cx_0+dy_0=0[/mm]
>
> Zu zeigen:
> Dann gelten (für jede Konstante [mm]k[/mm]):
> (i) [mm]a(k*x_0)+b(k*y_0)=0[/mm]
> (ii) [mm]c(k*x_0)+d(k*y_0)=0[/mm].
>
> Beweis zu (i):
> Es gilt für jedes [mm]k[/mm]:
>
> [mm]a(k*x_0)+b(k*y_0)=k*\underbrace{(ax_0+by_0)}_{=0,\;wegen\;(I)}=k*0=0[/mm].
>
> Beweis zu (ii):
> Den schaffst du nun auch alleine, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Liebe Christiane!
> Lieber Marcel!
> > > Lösungsversuch:
> > >
> > > habe k als gemeinsamen Faktor ausgeklammert
> > >
> > > k(a [mm]x_{0}[/mm] + b [mm]y_{0})[/mm] = 0
> > > k(c [mm]x_{0}[/mm] + d [mm]y_{0})[/mm] = 0
> > >
> > > und anschliesend durch k geteilt? dann erhalte ich wieder
> > > die Voraussetzung.. ist das so in ordnung?
> >
> > Leider ist das nicht ganz in Ordnung, denn du würdest aus
> > der Behauptung die Voraussetzung folgern. Du brauchst aber
> > die Richtung:
> > Voraussetzung [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung! Ist mir eben gar
> > nicht aufgefallen !
> Mmh, ich hab micht ja auch gewundert, warum noch durch k
> geteilt wird. Aber wenn man es so macht, wie ich es
> geschrieben habe, also quasi mit meiner Erklärung, dann
> müsste das doch eigentlich stimmen, oder? Ist zwar nicht so
> schön, wie du es hier machst, aber meine Erklärung kommt ja
> auch bei dir vor:
>
> > Naja, was haben wir denn hier:
> > Voraussetzung:
> > (I) [mm]ax_0+by_0=0[/mm]
> > (II) [mm]cx_0+dy_0=0[/mm]
> >
> > Zu zeigen:
> > Dann gelten (für jede Konstante [mm]k[/mm]):
> > (i) [mm]a(k*x_0)+b(k*y_0)=0[/mm]
> > (ii) [mm]c(k*x_0)+d(k*y_0)=0[/mm].
> >
> > Beweis zu (i):
> > Es gilt für jedes [mm]k[/mm]:
> >
> >
> [mm]a(k*x_0)+b(k*y_0)=k*\underbrace{(ax_0+by_0)}_{=0,\;wegen\;(I)}=k*0=0[/mm].
> >
> > Beweis zu (ii):
> > Den schaffst du nun auch alleine, oder?
Ja, so, wie du es aufgeschrieben hattest, war das in Ordnung (ich hatte dir doch ne PN geschrieben, wo drinstand, dass ich deinen Beitrag wohl nicht genaugenug gelesen hatte ). Aber so, wie Adrenaline es aufgeschrieben hat, müßte er Äquivalenzzeichen benutzen, und diese mit Vorsicht, wenn man das als Beweis akzeptieren sollte. Denn eigentlich zeigt er ja nur:
Wenn [mm] $x=kx_0$, $y=ky_0$ [/mm] das Gleichungssystem lösen, dann gilt auch, dass [mm] $x=x_0$, $y=y_0$ [/mm] das GLS lösen. Das war aber nicht zu beweisen, sondern:
Wenn [mm] $x=x_0$, $y=y_0$ [/mm] das GLS lösen, dann auch [mm] $x=kx_0$, $y=ky_0$. [/mm] Man kann seinen Beweis insofern retten, dass man überall Äquivalenzzeichen setzt. Aber: An einer Stelle muß man dann halt die Fallunterscheidung $k=0$ bzw. $k [mm] \not=0$ [/mm] machen. Ich hoffe, es ist klar, wie ich das meine...
Mit lieben Grüßen,
Marcel
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