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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 21.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Leute
vermutlich bin ich nur einfach im Moment nicht so drauf.
Ich würde lediglich gerne wissen, ob es für dieses Zahlentheorieproblem ein allgemeines Verfahren gibt:
Gegeben ist eine natürliche Zahl [mm]z[/mm].
Diese wird im 3-er Schritt vermindert: [mm]a_{n}=z-3*n[/mm].
Dazu wird, beginnend mit der [mm]1[/mm], eine weitere Folge gebildet, das Folgeglied wird jeweils um [mm]4[/mm] erhöht: [mm]b_{n}=1+4*n[/mm]
Die Frage ist nun:
Für welches [mm]n > 0[/mm] ist [mm]\bruch{a_{n}}{b_{n}} \in \IN[/mm] ?
(Das kleinste $n > 0$ würde mir schon genügen)
Oder anders: für welches [mm]n > 0[/mm] gilt: [mm]z-3n \equiv \, 0 \, mod \, (1+4n)[/mm]
Beispiel: [mm]z=166[/mm] ergibt [mm]n=7[/mm], weil
[mm]\bruch{166-3*7}{1+4*7}=\bruch{145}{29}=5[/mm]
Ich habe weder eigene Ideen noch eigene Ansätze, lediglich ein ratloses Brüten ob meinem Unvermögen, eine so einfach anmutende Frage vernünftig lösen zu können!
Falls sich niemand mit dieser Aufgabe beschäftigen will, bin ich auch nicht böse, es hängt nichts von der korrekten Lösung ab. Keine Zensur, keine Note, kein Durchfallen an einer Prüfung, kein rein gar nichts!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Do 21.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Paulus,
also erstmal muss ich sagen, dass ich die Frage gar nicht so einfach finde, insofern hast Du Dir nichts vorzuwerfen ;)
Das hier ist keine Lösung, sondern nur eine Denkhilfe... hoffentlich ^^
Aber mal zum Thema:
Du suchst nicht nur ein $n$, sondern auch ein $z$, für da Deine Gleichung gelten soll, denn sie kann nicht für jede natürliche Zahl erfüllt werden.
Beispiel:
$z=1$, $n=0$:
[mm] $\bruch{a_n}{b_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 [mm] \in \IN$, [/mm] aber $n < 1$
$z=1$, $n=1$:
[mm] $\bruch{a_n}{b_n} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{5} \not\in \IN$
[/mm]
Hier werden sofort zwei Bedingungen ersichtlich, die an das $n$ gestellt werden, wenn Du ein $z$ hast:
1. $n < [mm] \bruch{z}{3}$, [/mm] da sonst eine negative (also insbesondere nicht natürliche) Zahl entsteht
2. $n [mm] \le \bruch{z-1}{7}$, [/mm] da sonst die kleinste natürliche Zahl 1 unterschritten wird
Sei jetzt $k [mm] \in \IN$ [/mm] das Ergebnis des Folgenbruchs, dann kann man schreiben:
[mm] $\bruch{z-3n}{1+4n} [/mm] = k [mm] \gdw \bruch{z-k}{4k+3} [/mm] = n$
Wenn wir uns nun Zahlenpaare $(k,n)$ vorgeben, können wir zumindest sorum die $z$ bestimmen, für die die gestellte Bedingung zutrifft.
Bsp:
$(1,1) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 8$
$(1,2) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 15$
$(1,3) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 22$
$(2,1) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 13$
$(2,2) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 24$
$(2,3) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 35$
$(3,1) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 18$
$(3,2) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 33$
$(3,3) [mm] \Rightarrow [/mm] z = 48$
Vielleicht hilft Dir das ja etwas weiter...
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Do 21.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hm...
ich hab mich mal schlau gemacht, was diophantische Gleichungen sind, und WAS sie sind, habe ich verstanden, nur nicht, wie man sie löst, insofern werde ich Dir wahrscheinlich nicht weiterhelfen können, wenn es um Methode geht ^^;
Durch diese "Versuche" komme ich normalerweise immer ganz gut auf eine Struktur, die hinter einem Problem steckt, um diese dann zu verallgemeinern, ob das hier auch geht, weiss ich nicht o.O
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo AT-Colt
also, ich habe deine Antwort in Ruhe durchgearbeitet.
Leider bringt mich das alles nicht wirklich weiter.
Ich habe lediglich dabei festgestellt, dass ich an Stelle meiner ursprünglichen Definitionen der Folgen auch hätte
[mm] $a_{n} [/mm] = z-1-7n$ und
[mm] $b_{n} [/mm] = 1 + 4n$ nehmen können.
Dies auf Grund des Archimedischen Algorithmus, wonach ja der Gemeinsame Teiler zweier Zahlen der Selbe ist wie der Gemeinsame Teiler der Differenz dieser Zahlen und einer der ursprünglichen Zahlen.
$ggT(a,b) = ggT(a-b,b)$
Na ja, vielleicht brütet ja noch jemand über dieser Aufgabe,
Ich glaube fast, dass sich dieses Frischknechtsche Problem würdig in Reihe Riemanns ungelöster Probleme einreihen liesse! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Fr 22.10.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Paul,
auch ich konnte bisher nur feststellen, dass 0 < n <= (z-1)/7 sein muss. Für jedes z ist also effektiv feststellbar, ob ein geeignetes n existiert.
> Ich habe lediglich dabei festgestellt, dass ich an Stelle
> meiner ursprünglichen Definitionen der Folgen auch hätte
>
> [mm]a_{n} = z-1-7n[/mm] und
> [mm]b_{n} = 1 + 4n[/mm] nehmen können.
Das kannst du nicht, wenn du weiterhin verlangst, dass [mm] a_n/b_n [/mm] > 0 sein soll. Beispiel: z = 8, n = 1.
Ich habe eine Liste der Zahlen aufgestellt, für die ein n existiert, so dass [mm] a_n/b_n [/mm] natürlich wird, aber habe kein System erkannt.
Die darstellbaren Zahlen bis 100 sind:
8, 13, 15, 18, 22, 23, 24, 28, 29, 33, 35, 36, 38, 42, 43, 46, 48, 50, 51, 53, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 68, 69, 71, 73, 74, 78, 79, 80, 83, 85, 87, 88, 90, 92, 93, 96, 97, 98, 99, 100
Nicht darstellbar sind unter 100 die folgenden:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 34, 37, 39, 40, 41, 44, 45, 47, 49, 52, 54, 55, 56, 59, 62, 65, 66, 67, 70, 72, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 86, 89, 91, 94, 95
HTH
Sicherlich seid ihr auch schon auf die Gleichung
z = 4kn + 3n + k
gestoßen, die nach k und n gelöst werden muss. Leider ist mein Diophant gerade verliehen...
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Sa 30.10.2004 | | Autor: | TheKite |
Hallo zusammen,
hab die Gleichung
> z = 4kn + 3n + k
mal in Maple eingetippt
dabei ist folgendes herausgekommen:
{k = z-4*kn-3*n, z = z, n = n, kn = kn}
Hoffe das hilft euch weiter, wenn nicht ignoriert den Beitrag!
MfG
TheKite
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Do 04.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
ich bedanke mich ganz herzlich, vor allem auch nachträglich bei SirJective, dass ihr euch die Zeit genommen habt. Mein Fazit: die Aufgabe ist offenbar doch ein Kandidat für ein Jahrhundertproblem
Mit lieben Grüssen
Paul
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