Einfache Extremwertprobleme < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben neu mit dem Thema "Extremwertprobleme" angefangen.Wir sollen ein paar aufgaben bearbeiten, nur leider verstehe ich kein einziges Wort von dem was im Mathebuch steht.Es wäre lieb, wenn mir jemand die Aufgaben so erklären könnte,dass ich sie verstehe.
1. Die Punkte A(-u/0), B(u/0), C(u/f(u)), D(-u/F(-u)), 0<u<3, des Graphen von f mit [mm] f(x)=-x^2+9 [/mm] bilden ein Rechteck. Für welches u wird der Flächeninhalt (Umfang) des Rechtecks ABCD maximal? Wie gross ist der maximale Inhalt (Umfang)?
2.Die Punkte O(0/0), P(5/0), Q(5/f(5)), R(u/f(u)) und S(0/f(0)) des Graphen von f mit f(x)=- [mm] 0,05x^3+x+4; [/mm] 0<x<5, bilden ein Fünfeck. Für welches u wird sein Inhalt maximal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Di 23.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Carina,
versuche bitte bei deinen Fragen, etwas konkreter zu sagen, wo dein Problem liegt. Dann ist es für uns leichter, die passenden Antworten zu geben.
Ich gebe dir jetzt erst einmal ein paar Tipps für die erste Aufgabe. Melde dich, wenn du damit noch nicht klarkommst.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wir haben neu mit dem Thema "Extremwertprobleme"
> angefangen.Wir sollen ein paar aufgaben bearbeiten, nur
> leider verstehe ich kein einziges Wort von dem was im
> Mathebuch steht.Es wäre lieb, wenn mir jemand die Aufgaben
> so erklären könnte,dass ich sie verstehe.
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> 1. Die Punkte A(-u/0), B(u/0), C(u/f(u)), D(-u/F(-u)),
> 0<u<3, des Graphen von f mit [mm]f(x)=-x^2+9[/mm] bilden ein
> Rechteck. Für welches u wird der Flächeninhalt (Umfang) des
> Rechtecks ABCD maximal? Wie gross ist der maximale Inhalt
> (Umfang)?
>
Znächst mal zum Flächeninhalt:
Ich denke, du hast dir schon eine Zeichnung gemacht.
Nenne nun die Seite des Rechtecks, die auf der x-Achse liegt, a. Die andere Seite nennst du dann b. Der Flächeninhalt ist
[mm] A = a \cdot b [/mm].
Dann siehst du an der Zeichnung, dass a = 2u und b=f(u). (Dies ist die sogenannte Nebenbedingung)
Durch Einsetzen in die Formel von A erhälst du
[mm] A = A(u) = 2u \cdot f(u) = 2 u (-u^2 + 9) [/mm]
Von dieser Funktion kannst du mit dem dir bekannten Verfahren das Maximum bestimmen.
Wenn du diesen Lösungsansatz verstanden hast, kannst du sicher auch den maximalen Umfang bestimmen.
> 2.Die Punkte O(0/0), P(5/0), Q(5/f(5)), R(u/f(u)) und
> S(0/f(0)) des Graphen von f mit f(x)=- [mm]0,05x^3+x+4;[/mm] 0<x<5,
> bilden ein Fünfeck. Für welches u wird sein Inhalt
> maximal?
Hier ein Tipp für den Ansatz: Zeichne eine Parallele zur y-Achse durch R. Du hast dann ein Dreieck und ein Trapez. Zunächst höre ich hier einmal auf. Vielleicht kommst du schon alleine weiter, wenn du die erste Aufgabe verstanden hast
Gruß Sigrid
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Ersteimal vielen liebe Dank.Ich konnte meine Frage leider nicht konkreter stellen,weil ich wirklich garnichts verstehe.Wir haben ganz neu mit dem Thema angefangen, und dabei nur eine Beispielaufgabe von unserem Lehrer bekommen.Alles weitere sollen wir uns selbst beibringen. Aber ich habe versucht mit dem Ansatz weiter zu arbeiten.Da ich noch sehr unsicher bin wäre es schön, wenn ich eine kleine Antwort zu meinem Rechenweg bekommen könnte.Ich habe mit dem Ansatzt so weiter gearbeitet:
Maximum bestimmen
A'(u)=2(-2u)
A'(u)=0
0=2-2u / +2u, :2
u=1
hin. Bedingung
A''(u) [mm] \not= [/mm] 0
ab da bin ich nicht mehr weiter gekommen.Irgendetwas hab ich falsch gemacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 23.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
> Ersteimal vielen liebe Dank.Ich konnte meine Frage leider
> nicht konkreter stellen,weil ich wirklich garnichts
> verstehe.
Das habe ich schon fast vermutet. Aber keine Sorge, ich helfe dir weiter.
> Wir haben ganz neu mit dem Thema angefangen, und
> dabei nur eine Beispielaufgabe von unserem Lehrer
> bekommen.Alles weitere sollen wir uns selbst beibringen.
> Aber ich habe versucht mit dem Ansatz weiter zu arbeiten.Da
> ich noch sehr unsicher bin wäre es schön, wenn ich eine
> kleine Antwort zu meinem Rechenweg bekommen könnte.Ich habe
> mit dem Ansatzt so weiter gearbeitet:
>
> Maximum bestimmen
> A'(u)=2(-2u)
Halt! So darfst du nicht ableiten. Du musst den Funktionsterm erst ausmultiplizieren.
Also
[mm] A(u) = 2u (-u^2+9) = -2u^3 +18u [/mm]
Die Nullstellen der Ableitung sind
[mm] u = \wurzel{3} \vee u = - \wurzel{3}[/mm], (bitte nachrechnen!)
wobei die negative Lösung keinen Sinn macht, da für u gelten muss: 0<=u<=3 .
> A'(u)=0
> 0=2-2u (hier hast du dich auch verrechnet, aber das spielt jetzt keine Rolle mehr) / +2u, :2
> u=1
> hin. Bedingung
> A''(u) [mm]\not=[/mm] 0
> ab da bin ich nicht mehr weiter gekommen.Irgendetwas hab
> ich falsch gemacht
>
Ich denke, jetzt bekommst du es hin, sonst melde dich.
Gruß Sigrid
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hallo,
genau dieselbe aufgabe muss ich nun auch bearbeiten. soweit verstenhe ich alles nur warum a= 2u ist nicht. Wo kommt denn das u her?
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es tut mir leid aber ich habe noch eine frage. man hat ja mit der Lösung [mm] \wurzel{3} [/mm] noch nicht den maximalen Flächeninhalt. und wie geht dann das ganze mit dem Umfang?
vielen Dank im voraus!
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Hallo,
bei [mm] u=\wurzel{3} [/mm] maximaler Flächeninhat, dann: der Umfang U setzt sich zusammen aus [mm] U=4*u+2*f(u)=4*\wurzel{3}+2*(-\wurzel{3}^{2}+9)=4*\wurzel{3}+2*6
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mo 19.02.2007 | | Autor: | malinchen |
hi steffi,
danke!! ich muss nur die antwort auf meine ertse frage abwarten um damit sinnvoll weitermachen zu könne. aber das wir mir dan sicher weiterhelfen.
malinchen
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aber es muss dich 2 mal a + 2 mal b sein und nicht 4 mal u + 2 mal f(u)???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Mo 19.02.2007 | | Autor: | malinchen |
sorry hat sich geklärt!! hab bloß was übersehen
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Hallo,
schau dir mal mein Bild an: für [mm] u=\wurzel{3}=1,73 [/mm] wird der Flächeninhalt maximal, wenn du für diese Fall den Umfang ausrechnest, geht doch die Breite von -1,73 bis 0 (das ist ein u) und von 0 bis 1,73 (das ist noch ein u) ebenso die Breite auf der Oberseite des Rechtecks, also gibt es u insgesamt 4 mal.
Beachte aber, wenn du einen maximalen Umfang haben möchtest, nimmst du die 1. Ableitung von Angela, setzt diese gleich Null, für u=1 wird dann der Umfang maximal, du erreichst aber keinen maximalen Flächeninhalt,
steffi
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> es tut mir leid aber ich habe noch eine frage. man hat ja
> mit der Lösung [mm]\wurzel{3}[/mm] noch nicht den maximalen
> Flächeninhalt.
Hallo,
nein, [mm] \wurzel{3} [/mm] ist die Stelle, an welcher man bei den vorgegebenen Bedingungen ein Rechteck größtmöglichen Inhaltes erhält, nämlich, indem man die Punkte A,B,C,D so wählt: [mm] A=(-\wurzel{3},0), [/mm] B=..., [mm] C=(\wurzel{3},6), [/mm] D=....
Wie groß der maximale Flächeninhalt ist, bekommst Du heraus, indem Du [mm] u=\wurzel{3} [/mm] in A(u) einsetzt.
> und wie geht dann das ganze mit dem Umfang?
Um herauszufinden, für welches u der Umfang maximal wird, mußt Du eine zweite Extremwertaufgabe lösen.
Der Umfang berechnet sich ja, indem man die 4 Seitenlängen addiert, also (mit Sigrids a und b)
[mm] U(u)=2a+2b=2*(2u)+2*(f(u))=4u-2u^2+18.
[/mm]
Nun das übliche procedere mit Ableiten usw.
Gruß v. Angela
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aber angela wie kommst du denn bei der herleitung von U= 2a + 2b auf -2u² +18
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Hallo,
die Breite ist 2u
die Länge (Höhe) ist f(u)
U=2*2u + 2*f(u), für f(u) setzt du u für x in die Funktionsgleichung ein
U=4u + [mm] 2*(-u^{2}+9)
[/mm]
U=4u - [mm] 2u^{2} [/mm] + 18
jetzt klar(er)?
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mo 19.02.2007 | | Autor: | malinchen |
ja danke. der lösungsweg schon. aber ich hab die lösungen ohne den weg und die stimmen nicht mit dem überein was ich bis jetzt raushabe. ich habe bis jetzt aber denke ich mit eurer hilfe doch alles richtig gemacht.die lösungen lauten:
A= x(-x²+9) wird maximal für x [mm] =\wurzel{3}; [/mm] A(max) =
[mm] 6\wurzel{3}; [/mm] A(0)=A(3)= 0
U= 2(x+9-x²) wird maximal für x= [mm] \bruch{1}{2}; [/mm] U(max)= 18,5; U(0)= 18; U(3)= 6(sbsolutes extrema)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
Wo hast du diese Lösungen her?
Diese Lösungen passen nicht zu deiner Aufgabenstellung!!
Dann würdest du nur das halbe Rechteck untersuchen, A(0;0) und D(0; f(u)), in der Aufgabestellung sind diese Punkte aber anders angegeben!!
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Di 20.02.2007 | | Autor: | malinchen |
die lösungen hab ich von jemandem aus dem lösungsbuch bekommen.
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> soweit verstenhe ich alles nur warum a= 2u ist nicht. Wo
> kommt denn das u her?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du betrachtest ja das Rechteck, welches durch die Punkte A,B,C,D gegeben ist.
a hatte Sigrid die Seite des Rechtecks genannt, welche auf der x-Achse liegt, also den Abstand zwischen A und B.
A=(-u,0), B=(u,0).
Also erstreckt sich a auf der x-Achse von -u bis u und somit ist a=2u.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 19.02.2007 | | Autor: | malinchen |
Danke Angela!!
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