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| Aufgabe | | Die Punkte A(-u/0), B(u/0), C(u/f(u)) und D(-u/f(-u)), 0<=u<=3, des Graphen von f mit f(x)=-x²+9 bilden ein Rechtecke. Für welches u wird der Flächeninhalt (Umfang) des Rechtecks ABCD maximal? Wie groß ist der maximale Inhalt (Umfang)? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Strategie für das Lösen sieht folgendermaßen aus:
- Größenbeschreibung
- Nebenbedingungen?
- Zielfunktion?
- Extremwerte und Ergebnis formulieren
So, mein Problem ist nun, dass ich in der Stunde, wo dies besprochen wurde gefehlt habe und mir fehlt nun auch jeglicher Ansatz.
Euch freue mich auf eure Hilfe!
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Also, die Zielfunktion ist logischerweise der Flächeninhalt, also meinetwegen erstmal A=a[mm] \cdot [/mm]b, wobei man damit ja noch nicht so viel anfangen kann.
Am besten zeichnest du dir das Rechteck mal in ein Koordinatensystem (mit einem beliebigen Wert, z. B. u=2), dann wird vieles klarer. Die Größe a besteht aus der Länge der Seite DA und die Größe b aus der Länge der Rechteckseite CD.
Die Länge von DA erhalte ich, wenn ich die beiden y-Koordinaten voneinander subtrahiere. Die y-Koordinate von A ist bekanntlicherweise 0, die von D muss ich erst noch "ausrechnen", indem ich -u in die Funktionsgleichung einsetze, also f(-u) berechne. Dann ergibt sich f(-u)=-[mm]u^2[/mm]+9. Damit ist die Länge der Seite DA, und damit mein a=(-[mm]u^2[/mm]+9)-0=-[mm]u^2[/mm]+9. Das wäre die erste Nebenbedingung.
Die zweite Nebenbedingung - nämlich die Aufschlüsselung, was die Seite b anbelangt, erhältst du, wenn du die x-Koordinaten der Punkte C und D subtrahierst: b=u-(-u)=2u.
Wenn du jetzt diese beiden Nebenbedingungen in die Flächeninhaltsformel einsetzt, erhältst du deine Zielfunktion:
A(u)=(-[mm]u^2[/mm]+9)[mm]\cdot[/mm]2u
A(u)=-2[mm]u^3[/mm]+18u.
Jetzt musst du von dieser Funktion die Extremwerte ausrechnen, d.h. erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen (Ich mach direkt die zweite Ableitung mit...):
A'(u)=-6[mm]u^2[/mm]+18
A''(u)=-12u
Erste Ableitung = 0:
-6[mm]u^2[/mm]+18=0
-6[mm]u^2[/mm]=-18
[mm]u^2[/mm]=3
u=[mm]\pm[/mm][mm]\wurzel{3}[/mm]
Da u laut Aufgabenstellung zwischen 0 und plus 3 liegen muss, scheidet die negative Variante aus. Jetzt musst du deinen Wert u=[mm]\wurzel{3}[/mm] in die 2. Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Maximum handelt:
A''([mm]\wurzel{3}[/mm])=-12[mm]\cdot[/mm][mm]\wurzel{3}[/mm]
Das ist auf jeden Fall kleiner 0 und damit ein Maximum. Das heißt für u==[mm]\wurzel{3}[/mm] wird dein Rechteck maximal groß.
Variante B mit dem Umfang mache ich dir gleich, dann kannst du das hier schon mal lesen
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Erst mal "sorry" wegen meiner etwas krüppelhaften Formeln eben. War mein erster Beitrag und ich hatte den Durchblick mit der Formelschreibweise noch nicht ganz. Ich arbeite dran... 
Also, das Extremwertproblem für den Umfang kannst du ähnlich angehen wie das für den Flächeninhalt: Für den Umfang gilt erst mal allgemein [mm]U=2a+2b[/mm]. Was a und b ist - also die Nebenbedingungen - kannst du von der ersten Aufgabe quasi abschreiben, also
[mm]a=-u^2+9[/mm] und [mm]b=2u[/mm]. Für U ergibt sich also [mm]U=2(-u^2+9)+2(2u)=-2u^2+4u+18[/mm].
Davon machst du wieder die 1. (und 2.) Ableitung:
[mm]U'(u)=-4u+4[/mm]
[mm]U''(u)=-4
Die 1. Ableitung = 0 setzen, um mögliche Extrema herauszufinden:
[mm]-4u+4=0[/mm]
[mm]-4u=-4[/mm]
[mm]u=1[/mm]
Das musst du jetzt wieder in die 2. Ableitung einsetzen (wobei da nicht viel einzusetzen ist, aber der Form halber musst du es machen...):
[mm]U''(1)=-4[/mm]
Das ist wieder kleiner 0, also ein Maximum.
Für [mm]u=1[/mm] wird dein Umfang also maximal.
Du kannst jetzt auch noch ausrechnen, wie groß der Umfang dann ist (hatte ich eben beim Flächeninhalt vergessen...):
[mm]U(1)=-2\cdot1^2+4\cdot1+18=-2+4+18=20[/mm]
Das heißt, für [mm]u=1[/mm] hast du einen maximalen Umfang von 20 LE.
Falls du den maximalen Flächeninhalt noch ausrechnen willst, musst du einfach die [mm]\wurzel{3}[/mm] in A(u) einsetzen und ausrechnen.
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