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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:35 So 05.12.2010 | | Autor: | jessy1985 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fläche, die von den Kurven y = 2x
und y = [mm] x^2 [/mm] eingeschlossen wird. Stellen Sie dabei die Fläche (i)
über die Differenz zweier Einfachintegrale dar sowie (ii) über ein
Doppelintegral dar und machen Sie sich klar, dass beides äquivalent
ist. |
Hallo ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe bei i) 4/3 raus und bei ii)40/3. Jetzt würde ich gerne wissen, ob die Ergebnisse stimmen und wenn ja, wieso dann beides äquivalent ist.
Über Hilfestellungen würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüsse Jessy
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Hallo!
Du berechnest doch die Fläche zwischen den beiden Funktionen, und erhälst unterschiedliche Ergebnisse?
Kann denn eine Fläche unterschiedlich groß sein, wenn man unterschiedliche Methoden verwendet, um sie auszurechnen?
Ansonsten können wir dir nicht weiter helfen, wenn du nicht zeigst, was du gerechnet hast.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:01 So 05.12.2010 | | Autor: | jessy1985 |
Sorry. Habe auch ganz vergessen die Grenzen anzugeben.
i)
[mm] \integral_{0}^{2}{2x dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2}{x^2 dx}
[/mm]
ii)
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2}{x^2+2y dx} dy}
[/mm]
Sodas habe ich berechnet.
Liebe Grüsse Jessy
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Hallo,
und nun zeige uns doch wies du das ausgerechnet hast, denn offenbar hast du irgendwo einen Fehler gemacht; denn wie schon gesagt wurde, musst du natürlich die gleiche Fläche herausbekommen.
Guß
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Ich habe das so berechnet:
i) Stammfunktion [mm] x^2 [/mm] - S.fkt. [mm] \bruch{1}{3}x^3
[/mm]
4- [mm] \bruch{8}{3}=\bruch{4}{3}
[/mm]
ii)Sfkt. [mm] x^2+y^2x=4+2y^2 [/mm]
Sfkt. [mm] 4y+\bruch{2}{3}y^3=8+ \bruch{16}{3}=\bruch{40}{3}
[/mm]
Liebe Grüsse Jessy
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Hallo!
Daraus kann ich nichts lesen. Schreib mal ausführlich:
[mm]\int...dx-\int...dx=\left[...\right]-\left[...\right][/mm]
(Wenn du wissen möchtest, wie ich z.B. die Klammern erzeugt habe, halte die Maus über die Formel, oder besser, klick mal auf die Formel, dann siehst du es)
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Danke. Ich wusste nicht wie man hier ein Integral darstellt.
i) $ [mm] \int2xdx-\int x^2dx=\left[x^2\right]-\left[\bruch{1}{3}x^3\right] [/mm] $ [mm] =\bruch{4}{3} [/mm]
ii) [mm] \int$ \int2x+y^2dxdy =\int$\left[x^2+y^2x\right] dy=\int$ 4+2y^2 [/mm] dy= [mm] \left[4y+ \bruch{2}{3}y^3\right] =\bruch{40}{3}
[/mm]
Liebe Grüsse Jessy
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Hallo!
> i) [mm]\int2xdx-\int x^2dx=\left[x^2\right]-\left[\bruch{1}{3}x^3\right]=\bruch{4}{3}[/mm]
Das sieht schonmal gut aus!
> ii) [mm]\int \int2x+y^2dxdy =\int\left[x^2+y^2x\right] dy=\int$ 4+2y^2dy=\left[4y+ \bruch{2}{3}y^3\right] =\bruch{40}{3}[/mm]
Hier hast du zwei Probleme.
Integrieren heißt ja hier ganz naiv, daß du die Funktion auf Millimeterpapier zeichnest, und dann Kästchen zählst. So ein Kästchen hat eine Fläche, die formal die Fläche dx*dy hat.
Und zweitens:
Du integrierst zuerst über x, das heißt, du zählst zeilenweise durch. Und zwar immer von x=0 bis x=2. Das ist aber nicht korrekt, denn je nachdem, in welcher Zeile (d.h. bei welchem y-Wert) du dich befindest, mußt du bei anderen x-Werten anfangen und aufhören. Das kannst du dir mit irgendwelchen Umkehrfunktionen ausrechnen, aber das ist unschön.
Geschickter wäre es, wenn du spaltenweise zählst. Da gilt das gleiche, je nachdem, bei welcher Spalte du bist, fängst du mit dem Zählen in einer bestimmten Höhe an, und hörst bei einer bestimmen Höhe auf. Diese Höhen werden aber grade durch deine Funktionen bestimmt!
Ich schreib das mal so hin:
[mm] \int_X\int_Y1\,dx\,dy
[/mm]
geschickt ist es nun in diesem Fall, zunächst über y zu integrieren:
[mm] \int_X\left(\int_Y1\,dy\right)dx
[/mm]
Denk dran: Für ein bestimmtes x verläuft y im Bereich [mm] [x^2;2x]
[/mm]
Also lauten die Grenzen:
[mm] \int_X\left(\int_{x^2}^{2x}1\,dy\right)dx
[/mm]
Und x verläuft im Bereich [0;2]
[mm] \int_0^2\left(\int_{x^2}^{2x}1\,dy\right)dx
[/mm]
Wenn du das nun mal ausrechnest, siehst du zwei Dinge:
1.: Du bekommst das gleiche Ergebnis wie in i)
2.: Der Grund wird auch klar: Nach dem Ausrechnen der Klammer steht da fast das gleiche wie in der Aufgabe i)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 So 05.12.2010 | | Autor: | jessy1985 |
Vielen Dank. Ich habe es gerade mit deinen Grenzen berechnet und bin zum Ergebnis von i) gekommen. Ich habe es jetzt auch verstanden :)
Liebe Grüsse Jessy
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