Eine optmierte Milchverpackung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Di 16.06.2009 | | Autor: | Artan_M |
| Aufgabe | | Milchverpackung berechnen |
Also Leute ich mach das jetzt zum 2ten mal. Hoffentlich funktioniert das jetzt mit der Frage.. HAb mich vorhin dumm und dämlich geschrieben. Also nochmal in kurzform:
Ich habe noch eine Chance meine Mathenote zu verbessern (auf eine akzeptable Note 4):( Man sieht ich bin kein Matheass.
Hierzu habe ich ein Blatt in die Hand gedrückt bekomme und soll mir bis Freitag überlegen wie ich das am besten der Klasse presentiere und sie somit auf ein neues Thema einführe... Das Problem ist, ich habe KEINEEEE Ahnung was ich machen soll!
Hoffe hier kann mir geholfen werden...
Original 1:1 aus dem Blatt...
GFS: Die optimierte Getränkeverpackung
Getränke wie Milch oder Saft werden außer in Flaschen häufig auch in quadratförmigen Verpackungen angeboten, die den Inhalt vor äußeren Einflüssen wie Licht, Sauerstoff und Bakterien schützen müssen. Dazu wird ein Verpackungsmaterial benutzt, das in der Regel zu 75% aus Karton, zu 20% aus reinem Polyethylen und zu 5% aus Aluminium besteht. Dieses Verbundmaterial verursacht Kosten in der Herstellung, aber auch Gebühren an das Duale System Deutschland bei der Entsorgung. Es ist deshalb sinnvoll, sich Verpackungslösungen zu überlegen, die bei vorgegebenem Volumen möglichst wenig Material bei der Herstellung der Tüte benötigen.
Aus dem reichhaltigen Angebot an verschiedenen Getränken, das man in einem großen Supermarkt vorfindet, kann man zwei verschiedene Grundformen unterscheiden:
die quadratförmige Verpackung mit einer quadratischen Grundfläche und einem Giebeldach (z. B. für Frischmilch)
die quadratförmige Verpackung mit rechteckiger, nicht quadratischer Grundfläche ohne Giebeldach, wie sie häufig für H-Milch verwendet wird.
Die Vermutung liegt nahe, dass Form und Maße der Tüten so gewählt sind, dass bei vorgegebenem Inhalt (z.B. 1 Liter) möglichst wenig Material bei der Herstellung der Verpackung benötigt wird.
Aufgabenstellung
Betrachten Sie zunächst eine Getränketüte mit quadratischer Grundfläche (ohne den Giebel oder den Falz zu berücksichtigen).
Skizzieren Sie ein mögliches Netz einer solchen Tüte.
Berechnen Sie die Maße derjenigen Getränketüte, die bei vorgegebenem Volumen (z. B. 1 Liter)
einen minimalen Materialbedarf hat.
Berücksichtigen Sie jetzt sowohl den Giebel als auch den Falz.
Untersuchen Sie anhand einer realen Tüte, wie das Netz einschließlich Giebel und Falz aufgebaut ist.
Berechnen Sie unter den veränderten Bedingungen wiederum die Maße derjenigen Getränketüte, die bei vorgegebenem Volumen (z. B. 1 Liter) einen minimalen Materialbedarf hat.
Vergleichen Sie die ermittelten Maße mit denen der realen Tüte. Erläutern Sie eventuelle Abweichungen.
Hinweis: Für den Materialverbrauch ist der Flächeninhalt des jeweiligen Netzes entscheidend. Die Funktion
für diesen Flächeninhalt muss zunächst immer in Abhängigkeit von der Höhe h der Getränketüte und der Breite
b der quadratischen Grundfläche aufgestellt werden.
Hilfsmittel und Literatur
GTR
Lambacher Schweizer 11,S. 183 189
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hi!
Bin selber neu hier, dann versuch ich auch mal zu helfen ;)
Also zum fall der Milchtüte ohne Falz und Giebel.
Hier liegt dann ein Quader vor, der die (unbekannten) Kantenlängen a, b und c hat. Was wir schon mal wissen, ist dass a=b ist, denn der Boden ist quadratisch.
Wenn du Probleme mit dem Netz hast, nimm dir einfach mal eine leere Milchtüte (oder bastel dir was) und schneid die an den Kanten auf, dann kannst du sie flach auf den Tisch legen und dir überlegen, wie die Gesamtfläche berechnet wird.
Versuche nun, dir eine Funktion zu schreiben, die von a und c abhängt und den Flächeninhalt angibt.
Von dieser Funktion musst du dann das Minimum bestimmen, aber fang erstmal an sie zu erstellen.
Achja: Lass' dich nicht von den ganzen Vorinfos (Material usw) verwirren, dass soll nur erläutern dass diese Problem durchaus Anwenungen hat. Damit kannst du deine Präsentation aufbessern, aber erstmal würde ich die mathematischen Aufgaben angehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:51 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Artan_M |
Hab mir jetzt aber so eine Verpackung aufgeschnitten. Und wenn ich die Grundfläche dieser Verpackung berechne kommt folgendes:
O: [mm]4*b*(b+h) [/mm]
Die Verpackung hat an jeder Seite unten und oben jeweils [mm]1/2b*b [/mm] (also 4 mal -> das heißt 2xDeckel und 2xBoden)
Stimmt das sweit?
|
|
|
| |
|
Hallo [mm] Artan_M [/mm] und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Milchverpackung berechnen
> Also Leute ich mach das jetzt zum 2ten mal. Hoffentlich
> funktioniert das jetzt mit der Frage.. HAb mich vorhin dumm
> und dämlich geschrieben. Also nochmal in kurzform:
> Ich habe noch eine Chance meine Mathenote zu verbessern
> (auf eine akzeptable Note 4):( Man sieht ich bin kein
> Matheass.
> Hierzu habe ich ein Blatt in die Hand gedrückt bekomme und
> soll mir bis Freitag überlegen wie ich das am besten der
> Klasse presentiere und sie somit auf ein neues Thema
> einführe... Das Problem ist, ich habe KEINEEEE Ahnung was
> ich machen soll!
> Hoffe hier kann mir geholfen werden...
>
> Original 1:1 aus dem Blatt...
>
>
> GFS: Die optimierte Getränkeverpackung
>
> Getränke wie Milch oder Saft werden außer in Flaschen
> häufig auch in quadratförmigen Verpackungen angeboten, die
> den Inhalt vor äußeren Einflüssen wie Licht, Sauerstoff und
> Bakterien schützen müssen. Dazu wird ein
> Verpackungsmaterial benutzt, das in der Regel zu 75% aus
> Karton, zu 20% aus reinem Polyethylen und zu 5% aus
> Aluminium besteht. Dieses Verbundmaterial verursacht Kosten
> in der Herstellung, aber auch Gebühren an das Duale System
> Deutschland bei der Entsorgung. Es ist deshalb sinnvoll,
> sich Verpackungslösungen zu überlegen, die bei vorgegebenem
> Volumen möglichst wenig Material bei der Herstellung der
> Tüte benötigen.
>
> Aus dem reichhaltigen Angebot an verschiedenen Getränken,
> das man in einem großen Supermarkt vorfindet, kann man zwei
> verschiedene Grundformen unterscheiden:
>
> die quadratförmige Verpackung mit einer quadratischen
> Grundfläche und einem Giebeldach (z. B. für Frischmilch)
>
> die quadratförmige Verpackung mit rechteckiger, nicht
> quadratischer Grundfläche ohne Giebeldach, wie sie häufig
> für H-Milch verwendet wird.
>
> Die Vermutung liegt nahe, dass Form und Maße der Tüten so
> gewählt sind, dass bei vorgegebenem Inhalt (z.B. 1 Liter)
> möglichst wenig Material bei der Herstellung der Verpackung
> benötigt wird.
>
>
> Aufgabenstellung
> Betrachten Sie zunächst eine Getränketüte mit
> quadratischer Grundfläche (ohne den Giebel oder den Falz zu
> berücksichtigen).
> Skizzieren Sie ein mögliches Netz einer solchen Tüte.
Die Skizze brauchst du, um die Beziehungen zwischen den Maßen der Tüte zu erkennen...
> Berechnen Sie die Maße derjenigen Getränketüte, die bei
> vorgegebenem Volumen (z. B. 1 Liter)
> einen minimalen Materialbedarf hat.
Das ist eine typische  Extremwertaufgabe [<-- click it!], um zu sehen, wie man sie löst.
bekanntes Volumen: V (z.B. 1 Liter, aber rechne besser allgemein mit V)
quaderförmige Tüte: [mm] V=a^2*h [/mm] mit a=Kantenlänge der Grundseite, h=Höhe
Mit diesem Maßen kannst du auch die Oberfläche berechnen: O=... [du bist dran...]
Das Volumen bietet dir die Beziehung (=Nebenbedingung) zwischen a und h.
Damit stellst du Extremalbedingung auf: O([a oder h])= ...
Jetzt klar(er)?
Dann zeig' uns mal, wie du rechnest.
>
> Berücksichtigen Sie jetzt sowohl den Giebel als auch den
> Falz.
> Untersuchen Sie anhand einer realen Tüte, wie das Netz
> einschließlich Giebel und Falz aufgebaut ist.
> Berechnen Sie unter den veränderten Bedingungen wiederum
> die Maße derjenigen Getränketüte, die bei vorgegebenem
> Volumen (z. B. 1 Liter) einen minimalen Materialbedarf
> hat.
> Vergleichen Sie die ermittelten Maße mit denen der
> realen Tüte. Erläutern Sie eventuelle Abweichungen.
>
>
> Hinweis: Für den Materialverbrauch ist der Flächeninhalt
> des jeweiligen Netzes entscheidend. Die Funktion
> für diesen Flächeninhalt muss zunächst immer in
> Abhängigkeit von der Höhe h der Getränketüte und der
> Breite
> b der quadratischen Grundfläche aufgestellt werden.
>
> Hilfsmittel und Literatur
> GTR
> Lambacher Schweizer 11,S. 183 189
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Artan_M |
Also soweit... ich berechne die Oberfläche. Das bekomme ich denke ich hin:
O: [mm] 2*b^2+4*b*h [/mm]
Das ist das, was ich durch reine Überlegung rausbekomme.
Hab mir jetzt aber so eine Verpackung aufgeschnitten. Und wenn ich die Grundfläche dieser Verpackung berechne kommt folgendes:
O: [mm]4*b*(b+h) [/mm]
Das kommt daher, dass die Verpackung an jeder Seite unten und oben jeweils [mm]1/2b*b [/mm] (also 4 mal -> das heißt 2xDeckel und 2xBoden)
Ich glaube, ich soll, die von mir angesprochene Oberfläche nehmen...
Korigiere mich bitte wenn ich falsch liege. Soweit denke ich habe ich es verstanden.
Jetzt gehts weiter...
|
|
|
| |
|
> Also soweit... ich berechne die Oberfläche. Das bekomme ich
> denke ich hin:
>
> O: [mm]2*b^2+4*b*h[/mm]
>
> Das ist das, was ich durch reine Überlegung rausbekomme.
>
> Hab mir jetzt aber so eine Verpackung aufgeschnitten. Und
> wenn ich die Grundfläche dieser Verpackung berechne kommt
> folgendes:
>
> O: [mm]4*b*(b+h)[/mm]
>
> Das kommt daher, dass die Verpackung an jeder Seite unten
> und oben jeweils [mm]1/2b*b[/mm] (also 4 mal -> das heißt 2xDeckel
> und 2xBoden)
>
> Ich glaube, ich soll, die von mir angesprochene Oberfläche
> nehmen...
Hallo,
.
Du sollst hier tatsächlich mit der Oberfläche rechnen, die Du bastelnd ermittelt hast, aus folgendem Grund:
es geht nicht darum, daß die Oberfläche der Tüte möglichst klein ist, sondern es geht darum, daß für die Produktion dieser Tüte mit quadratischer Grundfläche möglichst wenig Material verbraucht wird. Mit dem Verschnitt kann man ja nichts anfangen, das ist Abfall.
Man möchte diese Tüten aus rechteckigen Stücken falten, und die Frage ist nun, wie die Maße sein müssen, damit man mit einem rechteckigen Stück von möglichst kleiner Fläche auskommt.
Für diese Fragestellung ist Deine Extremalbedingung
O(b,h)= [mm]$ 4\cdot{}b\cdot{}(b+h) $ [/mm], die Du ermittelt hast, genau die richtige.
(Ich würde für das referat die Funktion umtaufen, weil sie nicht die Oberfläche angibt, sondern den Materialverbrauch, kannst ja F nehmen. F wie Fläche des Materials.)
Das nächste, was Du tun mußt, ist das Aufstellen der Nebenbedingung.
Das Volumen der Milchpackung (wie berechnet man es?) soll [mm] 1000cm^3 [/mm] betragen.
In dieser Nebenbedingung kann st Du dann das h freistellen.
Anschließend ersetzt Du in der Extremalbedingung das h durch den eben gewonnen Ausdruck.
Damit hängt die Funktion O nur noch von b ab, Deine Zielfunktion steht.
Nun kann eine ganz normale Extremwertberechnung anrollen.
Am Ende solltest Du Dein Ergebnis mit den Maßen der echten Milchpackung vergleichen.
Gruß v. Angela
P.S.: Wenn Du das gerechnet hast und dann so richtig entflammt für die Mathematik bist, dann kannst Du anschließend nochmal (für Dich) ausrechnen, was herauskommt, wenn Du mit der Oberflächenfunktion O= [mm]2*b^2+4*b*h[/mm] rechnest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Artan_M |
Hallo Angela...
Also ich will dich jetzt nochmal fragen... denn ich glaube du hast die 2 Funktion als die richtige gewählt:
Das wäre dann die hier und nicht, die die hingeschrieben hast:
M: 4*b*(b+h)
Das Volumen berechnen wir so:
V: [mm] b^2*h [/mm] = [mm] 1000cm^3
[/mm]
jetzt sollen wir h freistellen: h = [mm] 1000cm^3 [/mm] / [mm] b^2
[/mm]
Ist das so richtig?
Ich hoffe ihr verzweifelt nicht mit mir :(
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela...
>
> Also ich will dich jetzt nochmal fragen... denn ich glaube
> du hast die 2 Funktion als die richtige gewählt:
> Das wäre dann die hier und nicht, die die hingeschrieben
> hast:
> M: 4*b*(b+h)
Oh Mann! Ich bin so dämlich! Ja, Du hast Dir das haarscharf richtig zurechtgereimt.
>
> Das Volumen berechnen wir so:
> V: [mm]b^2*h[/mm] = [mm]1000cm^3[/mm]
>
> jetzt sollen wir h freistellen: h = [mm]1000cm^3[/mm] / [mm]b^2[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja.
Jetzt einsetzen und weiter.
>
> Ich hoffe ihr verzweifelt nicht mit mir :(
Nee Du, bis wir verzweifeln, da mußt Du noch ein bißchen was auf die Beine stellen...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
