Eine Basis von Kern(f) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Definieren sie eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^2 [/mm] --> [mm] \IR^2 [/mm] mit f o f = f wobei [mm] f \ne 0 [/mm] und [mm] f \ne id_ (\IR^2) [/mm] |
Hallo
Die oben beschriebene Aufgabenstellung hat mich zu einem Zweifel gefuehrt, mein Ansatz war, die Funktion folgendermassen zu definieren:
Als Basis fuer [mm] \IR^2 [/mm] verwende ich die Standardbasis, also
[mm] {1 \choose 0} [/mm] , [mm] {0 \choose 1} [/mm]
Nun wollte ich die Funktion so definieren:
f ([mm] {1 \choose 0} [/mm]) = [mm] {0 \choose 1} [/mm]
f([mm] {0 \choose 1} [/mm]) = [mm] {0 \choose 1} [/mm]
damit waere f o f = f . Allerdings, die Basen des Kernes von f und des Bildes von f betrachtend, hab ich ein Verstaendnisproblem, naemlich:
laut Rangsatz gilt dim(V) = dim(Bild(f)) + dim (Kern(f))
dim (V) ist in diesem Fall 2.
Fuer das Bild(f) gilt dim(Bild (f)) = 1, denn [mm] {0 \choose 1} [/mm] ist eine Basis fuer das Bild.
Was ist nun aber eine Basis des Kernes???? Laut Rangsatz muss ja dim(Kern(f)) in diesem Fall 1 sein, und eine Basis von Kern(f) ist doch eine Teilmenge einer Basis von V! allerdings finde ich keine Basis! Denn
f([mm] {0 \choose 1} [/mm]) [mm] \ne 0 [/mm] und
f([mm] {1 \choose 0} [/mm]) [mm] \ne 0 [/mm]
ich steh da sicher irgendwie auf dem Schlauch, waere toll wenn jemand mein Verstaendnis da etwas zurechtruecken koennte, ich hoffe mich einigermassen verstaendlich ausgedrueckt zu haben :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Di 05.03.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn man dein f direkt hinschreibt, erhält man [mm] f(v)=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }v. [/mm] Nun willst du den Kern von f bestimmen, welcher auch der Kern der Matrix ist. Den kannst du bestimmen! Der Kern besteht aus allen Vektoren [mm] $v=\vektor{x \\ y}$ [/mm] mit [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0} \gdw [/mm] 0x+0y=0 und x+y=0.
Wenn du den Weg mit der Matrix nicht gehen willst, kannst du auch Folgendes machen: Du suchst also alle v mit f(v)=0. Sei [mm] v=a\vektor{1 \\ 0}+b\vektor{0 \\ 1}. [/mm] Dann ist [mm] f(v)=(a+b)\vektor{0 \\ 1} [/mm] nach der Definition deiner Abbildung. Dann ist f(v)=0? Genau dann, wenn a=-b. Im Kern hast du also genau die Elemente [mm] a\vektor{1 \\ 0}+b\vektor{0 \\ 1}, [/mm] für die a=-b gilt.
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Hey
Erstmal vielen vielen Dank fuer die rasche Antwort.
Als Kontrolle ob ichs richtig verstanden habe:
Ich denke mein Fehler war davon auszugehen, dass ich die Basis von Kern(f) bekommen kann, indem ich direkt einen EINZELNEN Vektor aus der Basis von V hole (was natuerlich so nicht immer klappt). Stattdessen besteht jeder Vektor des Kernes(f) aus einer Kombination verschiedener Vektoren der Basis von V.
In diesem Fall waere [mm] \vektor{1\\ -1}[/mm] eine Basis von Kern(f), welcher eine Kombination von [mm] 1* \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] -1* \vektor{0 \\ 1} [/mm] ist, oder?
womit auch die genannten Dimensionen stimmen.
nochmal vielen dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Di 05.03.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kein Problem! Genau, die Basis stimmt.
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