Eine Aufgabe P/S < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Kann einige Schritte nicht nachvollziehen in der Rechnung: |
gegeben:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
P [mm] (xp/\bruch{1}{xp}) S(xs/\bruch{1}{xs})
[/mm]
mt(P,f)=lim xs->xp Ys-Yp/xs-Xp=lim xs->xp 1/xs-1/xp/xs-xp= lim xs->xp=(-1)/xp*xp= -1/xp²
Zu meiner Frage was heißt in dem Fall mt? ist das dann die Tangenten Steigung haben vorher senkantenetigungen berechnet also Punkt P und S gegeben.
eine andere Frage wie komme ich dann hinter her auf -1/xs*xp die ich einsetzen muss?? Ich muss ja eine Nebenrechnung machen und soweit kürzen aber irgendwie komme ich da immer auf ein andres Ergebnis hier mal die Aufgabe:
1/xs-1/xp/xs-xp/1
hätte es gerne alles mit den Eingabehilfen gemacht nur bin nicht in der Lage dazu diese Sachen so wie sie sein müssen einzugeben daher ist es so umständlich zu lesen.
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Hallo Peter,
> hätte es gerne alles mit den Eingabehilfen gemacht nur bin
> nicht in der Lage dazu diese Sachen so wie sie sein müssen
> einzugeben daher ist es so umständlich zu lesen.
O.K., ich flicke das mal für dich und bitte Dich, den
Quelltext der Formeln anzuschauen (du kannst einfach
auf eine Formel klicken, dann erscheinen in einem
Fenster die Details !)
> Kann einige Schritte nicht nachvollziehen in der Rechnung:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm] $P\left(x_P\ |\ \bruch{1}{x_P}\right)\qquad S\left(x_S\ |\ \bruch{1}{x_S}\right)$
[/mm]
>
> $\ [mm] m_t(P,f)=\limes_{x_S\to x_P}\bruch{y_S-y_P}{x_S-x_p}=\limes_{x_S\to x_P}\bruch{\bruch{1}{x_S}-\bruch{1}{x_P}}{x_S-x_P}$ [/mm] siehe weiter bei (***)
> $\ =\ .......\ =\ [mm] \bruch{-1}{x_P*x_P}= [/mm] -\ [mm] \bruch{1}{x_P^2}$
[/mm]
>
> Zu meiner Frage was heißt in dem Fall $\ [mm] m_t$ [/mm] ? ist das dann die
> Tangentensteigung ?
Ja. Steigung von f im Punkt [mm] P(x_P/f(x_P)) [/mm]
> wir haben vorher Sekantensteigungen
> berechnet also Punkt P und S gegeben.
> eine andere Frage wie komme ich dann hinterher auf
> -1/xs*xp die ich einsetzen muss?? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Ich muss ja eine
> Nebenrechnung machen und soweit kürzen aber irgendwie komme
> ich da immer auf ein andres Ergebnis hier mal die Aufgabe:
> 1/xs-1/xp/xs-xp/1
(***)Ergänzung:
Zuerst über dem Hauptbruchstrich gleichnamig machen:
[mm] $\bruch{\bruch{1}{x_S}-\bruch{1}{x_P}}{x_S-x_P}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\bruch{x_P}{x_S*x_P}-\bruch{x_S}{x_S*x_P}}{x_S-x_P}$
[/mm]
und zusammenfassen:
$\ =\ [mm] \bruch{\bruch{x_P-x_S}{x_S*x_P}}{x_S-x_P}\ [/mm] $
Dann den Doppelbruch zu einem einfachen umformen:
$\ =\ [mm] \bruch{x_P-x_S}{x_S*x_P*(x_S-x_P)}\ [/mm] $
Kürzen (erlaubt, weil vor der Limesbildung [mm] x_S-x_P\not=0 [/mm] !):
$\ =\ [mm] \underbrace{\bruch{-\ 1}{x_S*x_P}}_{m_{PS}}\ [/mm] $
Und jetzt die Grenzwertbildung:
$\ [mm] \limes_{x_S\to x_P}{m_{PS}}\ [/mm] =\ [mm] m_{t_P}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-\ 1}{x_P*x_P}\ [/mm] =\ -\ [mm] \bruch{1}{x_P\,^2}$
[/mm]
Lieben Gruß
Al-Chw.
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| Aufgabe | | Welchen Schritt kannst du nicht genau nachvollziehen? |
Welchen Schritt kannst du nicht genau nachvollziehen? Ja genau mit dem Gleichnamig machen bzw. den Kehrbruch bilden komm ich in diesem Fall nicht zurecht ich beherrsche zwar die Grundlagen der Bruch Rechnung jedoch komme ich immer auf ein x².
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siehe meine ergänzte Version (v1)
Gruß Al
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Zwei fragen habe ich noch wie kommst du auf -1 beim kürzen?
$ \ [mm] \limes_{x_S\to x_P}{m_{PS}}\ [/mm] =\ [mm] m_{t_P}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-\ 1}{x_P\cdot{}x_P}\ [/mm] =\ -\ [mm] \bruch{1}{x_P\,^2} [/mm] $
und was bedeutet das mps und das mtp?
Ich untersuche doch die mit dieser Rechnung den Grenzwert den der Punkt s zu dem Punkt P hat also wie nah er daran kommen darf.
könntest du mir vielleicht anhand eines Beispiel einmal eine Vorlage geben wie die korrekte schreibweise ist.
Z:B
P(1/1) S (2/2²) bzw. (2/4)
f(x)=x²
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> Zwei fragen habe ich noch wie kommst du auf -1 beim
> kürzen?
[mm] x_P-x_S=-1*(x_S-x_P) [/mm] !
> [mm]\ \limes_{x_S\to x_P}{m_{PS}}\ =\ m_{t_P}\ =\ \bruch{-\ 1}{x_P\cdot{}x_P}\ =\ -\ \bruch{1}{x_P\,^2}[/mm]
>
>
> und was bedeutet das mps und das mtp?
Diese Bezeichnungen habe ich einfach so eingeführt;
es handelt sich nicht um Standardbezeichnungen, die
zu "lernen" wären.
[mm] m_{PS} [/mm] = Steigung der Geraden PS (Sekante!)
[mm] m_{t_P} [/mm] = Steigung der Tangente im Punkt P (oben mit $\ [mm] m_t$ [/mm] bezeichnet)
Es ist dann natürlich [mm] f'(x_P)=m_{t_P} [/mm] ! (Wert der Ableitung an der Stelle [mm] x_P)
[/mm]
> Ich untersuche doch mit dieser Rechnung den Grenzwert
> den der Punkt S zu dem Punkt P hat also wie nah er daran
> kommen darf.
Da verstehst du etwas an dem Begriff "Grenzwert",
den ich übrigens auch nicht sehr glücklich finde,
falsch. Ein Grenzwert in der Analysis hat nichts
mit einer Grenze im umgangssprachlichen Sinne
zu tun ! Man betrachtet Sekanten PS zwischen dem
fixierten Kurvenpunkt P und dem Punkt S, der der
Kurve entlang "fahren" kann. Bei einer "glatten"
Kurve (stetig und ohne Ecken) passiert folgendes:
Wenn man S längs der Kurve zu P hin bewegt,
nähern sich die Sekanten PS der Tangente in P
und also die Sekantensteigungen der gesuchten
Tangentensteigung: [mm] \limes_{S\to P}m_{Sekante}=m_{Tangente}
[/mm]
Warum macht man so ein Brimborium und setzt
nicht von Anfang an einfach S=P und [mm] x_S=x_P [/mm] ?
Ganz einfach, weil man durch einen einzigen
Punkt allein noch keine eindeutig bestimmte
Gerade legen kann. Oder rechnerisch gesehen,
weil die Division durch Null nicht möglich ist.
> könntest du mir vielleicht anhand eines Beispiel einmal
> eine Vorlage geben wie die korrekte schreibweise ist.
> Z.B
> $\ f(x)\ =\ x²$
> P(1/1) S (2/2²) bzw. (2/4)
für diesen konkreten Punkt S einfach: [mm] m_{PS}=\bruch{4-1}{2-1}=3
[/mm]
Was du aber eigentlich brauchst, ist ein noch
"beweglicher" Punkt S, sagen wir [mm] S(x_S/x_S^2).
[/mm]
Dann ist
$\ [mm] m_{PS}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{x_S^2-1}{x_S-1}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{(x_S+1)*(x_S-1)}{x_S-1}\ [/mm] =\ [mm] x_S+1$
[/mm]
und
[mm] $\limes_{x_S\to 1}m_{PS}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{x_S\to 1}(x_S+1)\ [/mm] =\ 1+1\ =\ 2$
LG
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vielleicht hälst du mich jetzt für dumm doch ich kann immer noch nicht nachvollziehen woher auf einmal die -1 kommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Do 19.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Es gilt doch:
$$a-b \ = \ (-1)*(-a+b) \ = \ (-1)*(b-a)$$
Gruß
Loddar
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ok das scheint logisch aber warum wird das speziell bei der aufgabe eben gemacht? kann das nicht nachvollziehen
MFG
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> ok das scheint logisch aber warum wird das speziell bei der
> aufgabe eben gemacht? kann das nicht nachvollziehen
Da wurde doch gar nichts "speziell für diese Aufgabe"
gemacht, sondern es ergab sich einfach aus dem Term,
den man hatte:
$\ [mm] \bruch{(x_P-x_S)}{x_S\cdot{}x_P\cdot{}(x_S-x_P)}\ [/mm] $
Jetzt muss man nur merken, dass der Klammerausdruck
im Nenner bis auf das Vorzeichen mit dem im Zähler
übereinstimmt. Beim Kürzen bleibt also ein Faktor -1 übrig,
und ausserdem der Rest des Nenners.
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Hallo PeterSteiner,
> Zwei fragen habe ich noch wie kommst du auf -1 beim
> kürzen?
>
> [mm]\ \limes_{x_S\to x_P}{m_{PS}}\ =\ m_{t_P}\ =\ \bruch{-\ 1}{x_P\cdot{}x_P}\ =\ -\ \bruch{1}{x_P\,^2}[/mm]
>
>
> und was bedeutet das mps und das mtp?
>
> Ich untersuche doch die mit dieser Rechnung den Grenzwert
> den der Punkt s zu dem Punkt P hat also wie nah er daran
> kommen darf.
> könntest du mir vielleicht anhand eines Beispiel einmal
> eine Vorlage geben wie die korrekte schreibweise ist.
> Z:B
> P(1/1) S (2/2²) bzw. (2/4)
> f(x)=x²
>
Vielleicht hilft dir  diese Seite zum Verständnis?
Bei dieser Grenzwert-Bildung wird die Sekantensteigung betrachtet, wie sie sich ändert, wenn der zweite Punkt S auf den Punkt P hinwandert und die ![[]](/images/popup.gif) Sekantensteigung im Grenzfall zur Tangentensteigung im Punkt wird.
Gruß informix
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