Eine Abschätzung finden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:50 Do 05.12.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, es geht um folgendes Problem:
Ich habe die Funktion
[mm] $k(x,y):=(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha}$
[/mm]
mit [mm] $(x,y)\in\Omega\times\Omega, x\neq [/mm] y$, [mm] $\Omega\subset\mathbb{R}^n, [/mm] n>1$ beschränktes Gebiet und [mm] $0<\alpha
Es ist nun eine Funktion der Form
[mm] $h(x,y):=\frac{a(x,y)}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}}$
[/mm]
gesucht, die $k$ abschätzt, wobei [mm] $a\in L^{\infty}(\Omega\times\Omega)$. [/mm] |
Moin!
Ich hab nicht so viel Ahnung, wie man das angehen kann.
Ich bin es sehr naiv angegangen, aber bin damit noch nicht glücklich:
Sei [mm] $(x,y)\in\Omega\times\Omega, x\neq [/mm] y$ beliebig.
Wähle [mm] $(x',y')\in\Omega\times (\Omega), x'\neq [/mm] y'$ so, dass [mm] $\lVert x'-y'\rVert\ll [/mm] 1$, dann gilt näherungsweise [mm] $\arctan(\lVert x'-y'\rVert)\approx \lVert x'-y'\rVert$.
[/mm]
Nun habe ich mir gedacht, dass doch
[mm] $\arctan(\lVert x-y\rVert)\geq\min(\underbrace{\lVert x-y\rVert\frac{\arctan(\lVert x'-y'\rVert)}{\lVert x'-y'\rVert}}_{\approx\lVert x-y\rVert},\underbrace{\arctan(\lVert x'-y'\rVert}_{\approx\lVert x'-y'\rVert})$,
[/mm]
meines Erachtens gilt dann also
[mm] $\arctan(\lVert x-y\rVert)\geq\lVert x'-y'\rVert$
[/mm]
und damit
[mm] $(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{\alpha}\geq (\lVert x'-y'\rVert)^{\alpha}$,
[/mm]
so dass ich dann bekomme
[mm] $(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha}\leq (\lVert x'-y'\rVert)^{-\alpha}$.
[/mm]
Ich weiß nicht, ob ich damit so eine Funktion h gefunden habe... also mit $a(x,y):=1$...
Irgendwie stellt mich das nicht zufrieden...
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> Hallo, es geht um folgendes Problem:
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> Ich habe die Funktion
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> [mm]k(x,y):=(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha}[/mm]
>
> mit [mm](x,y)\in\Omega\times\Omega, x\neq y[/mm],
> [mm]\Omega\subset\mathbb{R}^n, n>1[/mm] beschränktes Gebiet und
> [mm]0<\alpha
>
> Es ist nun eine Funktion der Form
>
> [mm]h(x,y):=\frac{a(x,y)}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}}[/mm]
>
> gesucht, die [mm]k[/mm] abschätzt, wobei [mm]a\in L^{\infty}(\Omega\times\Omega)[/mm].
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> Moin!
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> Ich hab nicht so viel Ahnung, wie man das angehen kann.
>
> Ich bin es sehr naiv angegangen, aber bin damit noch nicht
> glücklich:
>
> Sei [mm](x,y)\in\Omega\times\Omega, x\neq y[/mm] beliebig.
>
> Wähle [mm](x',y')\in\Omega\times (\Omega), x'\neq y'[/mm] so, dass
> [mm]\lVert x'-y'\rVert\ll 1[/mm], dann gilt näherungsweise
> [mm]\arctan(\lVert x'-y'\rVert)\approx \lVert x'-y'\rVert[/mm].
>
> Nun habe ich mir gedacht, dass doch
>
> [mm]\arctan(\lVert x-y\rVert)\geq\min(\underbrace{\lVert x-y\rVert\frac{\arctan(\lVert x'-y'\rVert)}{\lVert x'-y'\rVert}}_{\approx\lVert x-y\rVert},\underbrace{\arctan(\lVert x'-y'\rVert}_{\approx\lVert x'-y'\rVert})[/mm],
>
> meines Erachtens gilt dann also
>
> [mm]\arctan(\lVert x-y\rVert)\geq\lVert x'-y'\rVert[/mm]
>
> und damit
>
> [mm](\arctan(\lVert x-y\rVert))^{\alpha}\geq (\lVert x'-y'\rVert)^{\alpha}[/mm],
>
> so dass ich dann bekomme
>
>
> [mm](\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha}\leq (\lVert x'-y'\rVert)^{-\alpha}[/mm].
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> Ich weiß nicht, ob ich damit so eine Funktion h gefunden
> habe... also mit [mm]a(x,y):=1[/mm]...
>
>
>
> Irgendwie stellt mich das nicht zufrieden...
Hallo mikexx,
sag uns doch bitte noch, welchem Zweck diese Abschätzung
dienen soll ? Geht es um eine obere oder um eine untere
Schranke für k(x,y) , und soll sie für große oder eher für
kleine und sehr kleine Werte der Distanz $d(x,y)\ =\ [mm] \lVert x-y\rVert$
[/mm]
zum Zug kommen ?
Ferner: ist der Exponent [mm] \alpha [/mm] ganzzahlig oder beliebig reell ?
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Do 05.12.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Die genaue Aufgabenstellung lautet so:
Seien [mm] $\Omega\subset\mathbb{R}^n [/mm] (n>1)$ ein beschränktes Gebiet und [mm] $0<\alpha [/mm] <n$. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Kernfunktionen [mm] $k_1$ [/mm] und [mm] $k_2$ [/mm] sich durch schwach singuläre Kernfunktionen abschätzen lassen und somit im weiteren Sinne selbst schwach singuläre Kerne darstellen:
(i) [mm] $k_1(x,y):=(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha}$ [/mm] für [mm] $x\neq [/mm] y$
(ii) [mm] $k_2(x,y):=\lVert x\rVert^{1-\alpha}\ln(\lVert x\rVert)(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha} [/mm] $ für [mm] $x\neq [/mm] y$.
Tipp: Polarkoordinaten |
In der Vorlesung hatten wir noch, dass man Kerne mit
[mm] $\lvert k(x,y)\rvert\leq\frac{\lvert a(x,y)\rvert}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}}$
[/mm]
leicht in schwach singuläre Kerne umwandeln kann.
daher gehe ich mal davon aus, dass eine solche Abschätzung gemeint ist.
Mehr kann ich dazu leider auch nicht sagen....
Ich scheitere ja schon an (i).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Fr 06.12.2013 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, ich würde die Aufgabe mit dem Mittelwertsatz versuchen.
Es gilt [mm] $\arctan(\lVert x-y\rVert)=\frac{\lVert x-y\rVert}{1+\xi^2}>\frac{\lVert x-y\rVert}{1+\lVert x-y\rVert^2}$
[/mm]
für ein [mm] $\xi\in (0,\lVert x-y\rVert)$.
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $\lvert (\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha}\rvert\leq\frac{(1+\lVert x-y\rVert^2)^{\alpha}}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}}$.
[/mm]
Aufgrund der Beschränktheit von [mm] $\Omega$ [/mm] ist auch
[mm] $a(x,y):=(1+\lVert x-y\rVert^2)^{\alpha}$
[/mm]
beschränkt, also auch wesentlich beschränkt, also [mm] $a\in L^{\infty}(\Omega\times\Omega)$.
[/mm]
Das ist mein Vorschlag.
Wenn jemand einen Fehler entdeckt, dann diesen bitte hier melden!
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