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Hallo. habe hier ein Problem, wir haben eine Übungsaufgabe bekommen, aber irgendwie ist die identisch mit einem Satz aus der Vorlesung, den der Prof. selber bewiesen hat. Oder ich merke gerade den entscheidenen Punkt nicht. Vielleicht könnt ihr ja weiter helfen.
Also unsere Aufgabe lautet:
Sei X ein kompakter metrischer Raum und T: X [mm] \to [/mm] X eine Abbildung mit d(Tx,Ty)<d(x,y) für x [mm] \not= [/mm] y. Beweisen Sie, dass die Abbildung T einen eindeutigen Fixpunkt hat.
So und der Satz aus der Vorlesung lautet:
Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum. Sei ferner T: X [mm] \to [/mm] X eine Abbildung mit d(Tx,Ty)<q*d(x,y) , für alle x,y [mm] \in [/mm] X und q < 1. Die Abbildung T besitzt genau einen Fixpunkt.
So und dieser Satz wurde auch vollständig in der Vorlesung bewiesen. Oder liegt der unterschied doch in den beiden Wörtern vollständig und kompakt???
Wenn ja, was würde sich denn am Beweis ändern, wenn ich es für kompakte Mengen beweisen will?
Danke für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
die Aufgabe
> (X,d) kompakter metrischer Raum und T: X [mm]\to[/mm] X eine
> Abbildung mit d(Tx,Ty)<d(x,y) für x [mm]\not=[/mm] y. Beweisen Sie,
> dass die Abbildung T einen eindeutigen Fixpunkt hat.
und der Satz
> Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum. Sei ferner T:
> X [mm]\to[/mm] X eine Abbildung mit d(Tx,Ty)<q*d(x,y) , für alle
> x,y [mm]\in[/mm] X und q < 1. Die Abbildung T besitzt genau einen
> Fixpunkt.
Beachte dass in deiner Aufgabe [mm] $d(Tx,Ty)
Das Problem ist nur, dass der Satz $q<1$ fordert und du in Deiner Aufgabe $q=1$ hast. Vielleicht kann man irgendwie begründen, dass man in der Aufgabe auch $q<1$ wählen darf?!? Dann könntest Du den Satz anwenden. Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das darf bzw. so machen kann.
> Oder liegt der unterschied doch in den beiden
> Wörtern vollständig und kompakt???
Satz: Jeder kompakter metrischer Raum ist vollständig.
> Wenn ja, was würde sich denn am Beweis ändern, wenn ich es
> für kompakte Mengen beweisen will?
Ich denke, dass Du den Satz anwenden musst. Dazu solltest Du die Voraussetzungen zeigen.
> Danke für Hilfe.
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Hi.
oder kann es sein, dass ich in dieser Aufgabe genau diesen Satz: Jeder kompakter metrischer Raum ist vollständig, beweisen muss? Weil wir den in unserem Skript nicht haben. Oder ist das zu logisch, so dass dies nicht der Beweis dieser Aufgabe ist?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Sa 10.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> oder kann es sein, dass ich in dieser Aufgabe genau diesen
> Satz: Jeder kompakter metrischer Raum ist vollständig,
> beweisen muss? Weil wir den in unserem Skript nicht haben.
> Oder ist das zu logisch, so dass dies nicht der Beweis
> dieser Aufgabe ist?
Du hast dir die Voraussetzungen und Folgerungen nicht richtig klar gemacht.
Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig, richtig. Aber nicht jeder vollständige metrische Raum ist kompakt.
Du hast also schon einmal eine stärkere Voraussetzung als in dem Satz in der Vorlesung. Daraus sollst du eine stärkere Folgerung herleiten, denn in dem Satz der Vorlesung war $q<1$, hier ist $q=1$.
Ich weiss nicht, wie der Beweis funktioniert, könnte mir aber vorstellen, dass du benutzen musst, dass in einem kompakten metrischen Raum jede Folge eine konvergente Teilfolge hat.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 So 11.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. habe hier ein Problem, wir haben eine Übungsaufgabe
> bekommen, aber irgendwie ist die identisch mit einem Satz
> aus der Vorlesung, den der Prof. selber bewiesen hat. Oder
> ich merke gerade den entscheidenen Punkt nicht. Vielleicht
> könnt ihr ja weiter helfen.
>
> Also unsere Aufgabe lautet:
>
> Sei X ein kompakter metrischer Raum und T: X [mm]\to[/mm] X eine
> Abbildung mit d(Tx,Ty)<d(x,y) für x [mm]\not=[/mm] y. Beweisen Sie,
> dass die Abbildung T einen eindeutigen Fixpunkt hat.
>
>
> So und der Satz aus der Vorlesung lautet:
>
> Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum. Sei ferner T:
> X [mm]\to[/mm] X eine Abbildung mit d(Tx,Ty)<q*d(x,y) , für alle
> x,y [mm]\in[/mm] X und q < 1. Die Abbildung T besitzt genau einen
> Fixpunkt.
>
> So und dieser Satz wurde auch vollständig in der Vorlesung
> bewiesen. Oder liegt der unterschied doch in den beiden
> Wörtern vollständig und kompakt???
>
> Wenn ja, was würde sich denn am Beweis ändern, wenn ich es
> für kompakte Mengen beweisen will?
ohne jetzt genau auf alles einzugehen, vll. mal einfach ein paar Erinnerungen, die Dir helfen könnten:
Man sieht hier sofort:
1.) $T$ ist stetig auf $X$
Konsequenz:
2.) $T$ ist stetig auf dem Kompaktum $K$, also ist $T$ dort auch glm. stetig.
Folgerung:
3.) Gleichmäßig stetige Funktionen bilden Cauchyfolgen auf Cauchyfolgen ab.
Also ich denke, damit kann man sicherlich irgendwie die Existenz eines Fixpunktes begründen (man sollte halt versuchen, geeignet (eine?) Cauchyfolge(n) ins Spiel zu bringen ).
Übrigens:
Das kompakte metrische Räume vollständig sind, kannst Du leicht zeigen:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in $X$, so existiert eine Teilfolge [mm] $(x_{n_m})_m$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n$, [/mm] die gegen ein $x [mm] \in [/mm] X$ konvergiert wegen der Kompaktheit von $X$. Es folgt:
[mm] $(\star)$ $|x_n-x| \le |x_{n}-x_{n_m}|+|x_{n_m}-x|$
[/mm]
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so bekommen wir sicherlich [mm] $|x_{m_n}-x| \le \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle $m [mm] \ge N_1$, [/mm] weil ja [mm] $(x_{n_m})_m$ [/mm] gegen $x$ konvergiert. Weil [mm] $(n_m)_m$ [/mm] monoton wachsend ist, ist [mm] $n_m \ge N_1$ [/mm] für alle $m [mm] \ge N_1$.
[/mm]
Weiterhin:
Wir wählen [mm] $N_2 \ge N_1$, [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \ge N_2$ [/mm] gilt:
[mm] $|x_n-x_m| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
(Das geht, weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge ist.)
Nun beachten wir:
Für $m [mm] \ge N_2 \ge N_1$ [/mm] gilt [mm] $n_m \ge N_2 \ge N_1$, [/mm] also folgt in [mm] $(\star)$ [/mm] für alle $n,m [mm] \ge N_2$:
[/mm]
[mm] $|x_n-x| \le |x_{n}-x_{n_m}|+|x_{n_m}-x| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
[/mm]
Damit gilt (weil [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig war) [mm] $x_n \to [/mm] x [mm] \in [/mm] X$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Folglich ist $(X,d)$ vollständig (weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine beliebige Cauchyfolge in $X$ war).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 So 11.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi, danke erstmal für eure tipps.
gruß
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