Eindeutigkeit eines Maßes < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 So 18.03.2012 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{R} [/mm] := {M [mm] \subseteq \IZ: [/mm] M ist endlich oder leer}.
Auf [mm] \mathcal{R} [/mm] ist [mm] \mu(M) [/mm] := [mm] \summe_{x \in M} [/mm] (x - [mm] \bruch{1}{2})^{-2} [/mm] ein Prämaß.
Kann [mm] \mu [/mm] zu einem Maß auf [mm] \sigma(\mathcal{R}) [/mm] fortgesetzt werden?
Ist diese Fortsetzung eindeutig? |
Die erste Frage kann man durch den Maßfortsetzungssatz von Caratheodory ganz klar mit ja beantworten. Viel wichtiger ist mir aber die zweite Frage. Diese Aufgabe wurde in den Übungen bereits kurz besprochen, ich habe allerdings nur die Aufzeichnungen dazu und verstehe diese leider nicht:
Auf [mm] \sigma(\mathcal{R}): [/mm] 2 verschiedene Maßfortsetzungen [mm] \mu' [/mm] von [mm] \mu.
[/mm]
[mm] \mu'(A) [/mm] = [mm] \mu(A\cap\IZ)
[/mm]
[mm] \mu'_{2}(A) [/mm] = [mm] \infty [/mm] für A [mm] \not\in \mathcal{P}(\IN)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] keine Eindeutigkeit!
Offensichtlich versuchen wir hier die Eindeutigkeit mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen, allerdings sehe ich nicht warum es sich dabei jeweils um eine Maßfortsetzung handelt. Wäre super wenn mir das jemand erklären könnte.
(Noch eine Frage zum Forum, wie stelle ich das "Tilde-Zeichen" über einem Buchstaben dar?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mo 19.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sigmar,
mit [mm] \sigma(\mathcal{R}) [/mm] ist die von [mm] \mathcal{R} [/mm] erzeugte Sigma-Algebra nicht auf [mm] \IZ, [/mm] sondern auf [mm] \IR [/mm] gemeint, wenn ich den/die Übungsleiter(in) richtig verstehe.
> Die erste Frage kann man durch den Maßfortsetzungssatz
> von Caratheodory ganz klar mit ja beantworten.
Genau.
> Viel
> wichtiger ist mir aber die zweite Frage. Diese Aufgabe
> wurde in den Übungen bereits kurz besprochen, ich habe
> allerdings nur die Aufzeichnungen dazu und verstehe diese
> leider nicht:
>
> Auf [mm]\sigma(\mathcal{R}):[/mm] 2 verschiedene Maßfortsetzungen
> [mm]\mu'[/mm] von [mm]\mu.[/mm]
> [mm]\mu'(A)[/mm] = [mm]\mu(A\cap\IZ)[/mm]
> [mm]\mu'_{2}(A)[/mm] = [mm]\infty[/mm] für A [mm]\not\in \mathcal{P}(\IN)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] keine Eindeutigkeit!
>
> Offensichtlich versuchen wir hier die Eindeutigkeit mit
> einem Gegenbeispiel zu widerlegen,
Ja.
> allerdings sehe ich
> nicht warum es sich dabei jeweils um eine Maßfortsetzung
> handelt.
Dem/der Übungsleiter(in) sind zwei Fehler/Ungenauigkeiten unterlaufen:
In der Definition von [mm] \mu' [/mm] ist [mm] \mu(A\cap\IZ) [/mm] gar nicht wohldefiniert, da [mm] A\cap\IZ [/mm] nicht aus [mm] \mathcal{R} [/mm] sein muss.
Bei [mm] \mu'_2 [/mm] statt muss es [mm] \mathcal{P}(\IZ) [/mm] statt [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] heißen.
Gemeint ist offensichtlich:
[mm] \mu'(A)=\summe_{x\in A\cap\IZ}(x-\bruch12)^{-2} [/mm] für alle [mm] A\in\sigma(\mathcal{R})
[/mm]
[mm] \mu'_2(A)=\begin{cases} \summe_{x\in A}(x-\bruch12)^{-2}, & \mbox{für } A\subseteq\IZ \\ \infty, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] für alle [mm] A\in\sigma(\mathcal{R})
[/mm]
Jetzt ist nachzuprüfen:
1. a) [mm] \mu' [/mm] und b) [mm] \mu'_2 [/mm] setzen [mm] \mu [/mm] fort
2. a) [mm] \mu' [/mm] und b) [mm] \mu'_2 [/mm] sind sigma-additiv
3. [mm] \mu'\not=\mu'_2
[/mm]
An welchem dieser Punkte hapert es?
Viele Grüße
Tobias
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