Eindeutigkeit der best.Approx < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Es sei X ein strikt konvexer normierter Vektorraum und E [mm] \subset [/mm] X ein endlich-dim Teilraum. Dann existiert zu jedem f [mm] \in [/mm] X genau ein Proximum. |
Hallo,
habt ihr hier einen Hinweis für mich, wie man das zeigen kann?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Riley,
> Es sei X ein strikt konvexer normierter Vektorraum und E
> [mm]\subset[/mm] X ein endlich-dim Teilraum. Dann existiert zu jedem
> f [mm]\in[/mm] X genau ein Proximum.
> Hallo,
> habt ihr hier einen Hinweis für mich, wie man das zeigen
> kann?
Du selbst hast diese Frage hier im MR gestellt. Ich habe den dortigen Beweis nun nicht durchgelesen, aber mit der dortigen Aussage erhälst Du zu $f [mm] \in [/mm] X$ die Existenz (mindestens) eines bestapproximierenden Elementes [mm] $u^{\star} \in [/mm] E$. Du hast unter obigen Voraussetzungen nun nachzuweisen, dass dieses eindeutig ist.
Dazu nimm' an, dass [mm] $u^{\star} \in [/mm] E$ und [mm] $\tilde{u}^\star \in [/mm] E$ zwei bestapproximierende Elemente für $f [mm] \in [/mm] X$ seien. Zu zeigen ist nun, dass dann schon [mm] $u^\star=\tilde{u}^\star$, [/mm] bzw. äquivalent dazu:
[mm] $$\|u^\star-\tilde{u}^\star\|=0$$
[/mm]
folgt. Und offensichtlich sollte dabei wohl die strikte Konvexität von [mm] $X\,$ [/mm] bedeutend eingehen.
P.S.:
Die Norm auf dem nach Voraussetzung normierten Raum [mm] $X\,$ [/mm] bezeichne ich, wie üblich, mit [mm] $\|.\|$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:38 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Marcel,
danke für die Hinweise! Dass es existiert ist nach der anderen Aufgabe, auf die du verwiesen hast, klar.
Die strikte Konvexität bedeutet ja, dass aus [mm] \frac{1}{2} \|x+y \| [/mm] = 1 folgt, dass x = y. Ich seh allerdings nicht, wie ich hier [mm] u_1, u_2 [/mm] finden kann, die nach Annahme beide das Prox sein sollen und ... = 1 erfüllt wäre. Kann man sich so etwas konstruieren?
Ansonsten hab ich noch etwas dazu gefunden. d war ja d := [mm] inf_{u \in E} \|f [/mm] - u [mm] \|. [/mm] Sind nun [mm] u_1, u_2 [/mm] verschieden Proxima zu f.
Dann würde folgende Abschätzung gelten:
d [mm] \leq \| [/mm] f - [mm] \frac{1}{2} (u_1 [/mm] + [mm] u_2) \| \leq \frac{1}{2} \| [/mm] f - [mm] u_1 \| [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \| [/mm] f - [mm] u_2 \| [/mm] = d, also
[mm] \| [/mm] f - [mm] u_1 [/mm] + f - [mm] u_2 \| [/mm] = [mm] \| [/mm] f - [mm] u_1 \| [/mm] + [mm] \| [/mm] f - [mm] u_2 \|.
[/mm]
Da wir eine strenge Norm haben gilt f - [mm] u_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] (f - [mm] u_2) (\lambda \in \C), [/mm] also [mm] (1-\lambda) [/mm] f = [mm] u_1 [/mm] - [mm] \lambda u_2.
[/mm]
Da f nicht in E liegt, folgt [mm] \lambda [/mm] = 1 und somit [mm] u_1 [/mm] = [mm] u_2 [/mm] und wir haben einen Widerspruch.
Falls f in E liegen würde, wäre u = f das eindeutige Prox.
Allerdings versteh ich das nicht ganz, warum muss man unterscheiden ob f in E oder in X ohne E liegt?
Und wie kommt man auf die erste Abschätzungskette?
Wär super, wenn du mir das noch erklären könntest...
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 06.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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